¿Cuándo es una ruta de límite multivariable independiente?

Question

Cuando tuve cálculo, me enseñaron que el límite de un límite multivariable puede depender de la ruta. Entonces, para verificar si existe un límite, debería, en teoría, verificar todas las rutas posibles, que son infinitas. Entonces, ¿cómo calculo realmente un límite multivariable? El hecho de que haya comprobado una ruta, ¿no significa necesariamente que el límite sea el mismo en todas las rutas?

¿Existe una manera fácil de saber si un límite es independiente de la ruta o cuándo un límite multivariable podría depender de la ruta?

---

Considere el límite:

$$\lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} 2x^3-y^{2}=16-9=7$$ ¿Cómo sé que puedo poner los valores en este caso?

$$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$$ Yo se que este limite no existe, porque si vas por el camino $y=mx$ el límite es 0. Pero si sigues la parábola $y=\pm x^2$ el límite es $\pm \frac{1}{2}$.

¿En qué se diferencian estos dos casos? Quiero decir, ¿cómo puede ver inmediatamente que el primer caso es independiente de la ruta, pero que el segundo caso puede no serlo?

Answer 1

Busca continuidad (pero continuidad en un sentido multivariable). La primera expresión es solo un polinomio, por lo que no hay forma de que se interrumpa la continuidad. Pero el segundo tiene un denominador, que viene con restricciones como cuando el denominador = 0.

Answer 2

Incluso si aún no tiene una definición formal de continuidad, puede echar un vistazo a la expresión

$$\lim_{(x,y)\to(2,3)}2x^3-y^2$$

y creo que estas funciones se ven lo suficientemente "agradables" (no estamos haciendo nada ilegal como dividir por cero en ninguna parte), así que conectemos los números e intentemos demostrarlo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0 $ tal que

$$\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2} < \delta \implies |2x^3-y^2-7| < \epsilon$$

volviendo a centrar nuestro polinomio

$$2(x-2+2)^3-(y-3+3)^2 - 7$$

$$ = 2(x-2)^3+12(x-2)^2+24(x-2)+16-(y-3)^2-6(y-3)-9-7$$

$$ = 2(x-2)^3+12(x-2)^2+24(x-2)-(y-3)^2-6(y-3)$$

Esto significa que por desigualdad triangular (más una restricción de dominio) tenemos que

$$|2x^3-y^2-7| < 38|x-2|+7|y-3| = 45\left[\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}\right]$$

así podemos probar nuestro límite eligiendo

$$\delta = \min\left(1,45\epsilon\right)$$

La belleza de esto es que se trata de una desigualdad sin un llamado a la continuidad. Podríamos hacer algo similar con el teorema de compresión. Pero de todos modos, más adelante, volvemos y miramos estas funciones en las que se nos permitió conectar cosas y obtener el límite de todos modos y formalizar lo que las hizo especiales.

Answer 3

En el primer caso la función es continua en el punto, ya que es una composición de funciones elementales continuas y se define en ese punto, es decir

$$\lim _{(x, y) \rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

en este caso, el límite siempre existe y, por lo tanto, es "independiente de la ruta".

En el segundo caso, la función no está definida en el punto y, en este caso, el límite puede no ser "independiente de la ruta".

Consulte también los

• ¿Cómo demostrar que todas las funciones elementales son continuas en su dominio?