¿Cuándo induce un mapa una estructura en una categoría concreta?
Dejar $C$ ser una categoría concreta, deja $A$ ser un set, deja $B$ ser un objeto en $C$, y deja $f$ ser una función de $A$ al conjunto subyacente de $B$. Entonces, ¿siempre existe un objeto en$C$ cuyo conjunto subyacente es $A$ tal que $f$ es un morfismo en $C$? Y si$f$ es una biyección, entonces siempre existe un objeto en $C$ cuyo conjunto subyacente es $A$ tal que $f$ es un isomorfismo en $C$?
Supongo que la respuesta a estas preguntas es no, pero ¿hay un nombre para categorías concretas para las que la respuesta a una o ambas preguntas es sí? ¿Y si cambiamos el orden de$A$ y $B$, de modo que el conjunto que se está convirtiendo en un objeto sea el codominio de la función en lugar del dominio?
Pregunto porque inducir una estructura en un conjunto a través de un mapa es una construcción muy común en matemáticas, y me pregunto si su origen es teórico de categorías.
Respuestas
Básicamente estás preguntando sobre las propiedades de elevación del functor de concretización.$U: C \rightarrow \underline{Set}$. Esto debería darle una idea de qué buscar si desea buscar más referencias sobre esto. Tenga en cuenta que también podemos estudiar estas propiedades cuando la categoría objetivo del funtor es diferente a$\underline{Set}$.
Los functores en los que podemos levantar algún morfismo son muy raros. De hecho, generalmente no se esperaría que los functores olvidadizos de una categoría concreta tuvieran esta propiedad, simplemente porque la idea de una categoría concreta es que la mayoría de las funciones en$\underline{Set}$ no son morfismos de las estructuras que componen la categoría de hormigón.
El caso en el que solo podemos levantar biyecciones (solo levantar isomorfismos, para una categoría objetivo general) es bien conocido y estudiado, y los functores en cuestión se denominan isofibraciones . Tu intuición de que hay muchos casos de este tipo proviene, entre otras cosas, del hecho de que el functor olvidadizo de la categoría de álgebras de una mónada es siempre una isofibración.
No. Solo considere la categoría $1$ con un objeto y un morfismo (la identidad), y mapear eso en Set prácticamente de cualquier manera.