Cuantificación sustitucional en teoría de conjuntos

Question

¿Existe una fórmula unaria $\phi$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos con las siguientes propiedades:

(yo) $ZFC \vdash (\exists x)\phi(x)$

(ii) para cada fórmula unaria $\psi$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos para la cual $ZFC \vdash (\exists! x)\psi(x)$, tenemos $ZFC \vdash (\forall x)(\psi(x) \rightarrow \neg \phi(x))$

Answer 1

No, tal fórmula no existe. La razón es que en$L$, el universo construible, hay un bien ordenado definible $<_L$del universo. Por lo tanto, para cualquier fórmula$\phi$ tal que $L\models\exists x\,\phi(x)$, hay una fórmula $\psi_\phi$ tal que $L\models\exists!x\,\psi_\phi(x)$ y $L\models\forall x\,(\psi_\phi(x)\to\phi(x))$, a saber, $\psi_\phi(x)$ Establece que $x$ es el $<_L$-primer testigo de $\phi$.

Reemplazando tu teoría con $\mathsf{ZFC}+V\ne L$ tampoco ayuda, ya que siempre podemos usar class forcing para hacer $V=HOD$, la clase de elementos definibles ordinales hereditariamente, en cuyo caso tenemos nuevamente un ordenamiento bien definible del universo.

Por otro lado, es coherente que exista una fórmula como usted sugiere. No es demostrable, por supuesto, como se acaba de indicar, pero que algún modelo$M$ satisface las versiones de (i) y (ii) en su publicación con cada "$\mathsf{ZFC}\vdash$" reemplazadas con "$M\models$". Es decir, deje $g$ ser un verdadero genérico de Cohen sobre $L$y considerar $M=L[g]$ y $\phi(x)$ la declaración de que $x$ es Cohen-genérico terminado $L$.