Débil * convergente vs fuertemente convergente.

Aug 20 2020

Leí en Kreyszig las siguientes definiciones.

$\textbf{Definition:}$ Dejar $X,Y$ espacios normativos y $T_n:X \rightarrow Y$una secuencia de operadores lineales acotados. Nosotros decimos eso$T_n$ converge fuertemente a $T:X\rightarrow Y$ Si

$$ \Vert T_n(x)- T(x) \Vert \to 0 , \forall x\in X $$

$\textbf{Definition:}$ Dejar $X$ un espacio normado y $f_n \in X'$una secuencia. Nosotros decimos eso$f_n$ converge débilmente * si existe $f\in X'$ tal que

$$ \vert f_n(x) - f(x) \vert \to 0, \forall x\in X $$

En el primer caso, $T$ puede ser ilimitado si $X$no está completo. Poner$Y=\mathbb{R}$ las definiciones son casi las mismas excepto por el hecho de que en el segundo dicen que $f$ tiene que ser continuo y en el primero no.

Mi duda surge porque el autor comenta que en el caso de trabajar con funcionales lineales la primera definición coincide con la segunda, pero creo que no son lo mismo.

Ver pag. 266 de Kreyszig: Introducción al análisis funcional con aplicaciones.

Respuestas

1 Aweygan Aug 21 2020 at 12:53

Las dos definiciones no son equivalentes cuando $Y=\mathbb C$ y $X$no está completo. Dejar$X$ ser el espacio de polinomios trigonométricos en $[0,2\pi]$ con el $L^2$-norm y deja $f_n:X\to\mathbb C$ ser definido por la extensión lineal de $$f_n(e^{ikx})=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{if }|k|\leq n,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{array}\right.$$ Entonces la secuencia $\{f_n\}$ en $X^*$ converge fuertemente a un funcional ilimitado, por lo tanto no puede converger débil$^*$ a un funcional acotado.