Débiles $L^p$ convergencia para pasar al límite en una aproximación lineal por partes de la función de signo?

Aug 16 2020

Considerar $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ que es una versión suavizada del $\mathrm{sign}$ función.

Suponer que $u_n \to u$ débilmente en $L^p([0,1])$ para todos $p \in [1,\infty]$ como $n \to \infty$. Es cierto que$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ débilmente en algunos $L^p$?

Respuestas

1 StephenMontgomery-Smith Aug 26 2020 at 00:40

Suponer $\epsilon \le 1$. En$[0,1]$, dejar $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ Luego $u_n \rightharpoonup 2$ en $L^p([0,1])$ para $1 \le p < \infty$, pero $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

No estoy seguro de $p = \infty$, pero dudo que este contraejemplo funcione.