Definición de multiplicación en anillos [cerrado]

Question

Digamos que tengo un anillo $R=(\mathbb{R}, +, *)$. Es

$a+a=2*a$

($a \in \mathbb{R}$)

siempre es cierto para cualquier anillo¹? (De modo que cuando esta ecuación no es cierta, definitivamente puedo inferir que$R$ no es un anillo.)

1) Con "any" me refiero a cualquier otro anillo que también esté usando $\mathbb{R}$ como conjunto subyacente, gracias por tu comentario nick.

Answer 1

Si su anillo tiene una unidad, es decir, una identidad multiplicativa (y la definición que casi todo el mundo usa en estos días https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional), entonces sí.

Como señalan los comentaristas, $2$ se define * para ser $1 +1$, dónde $1$ es la identidad multiplicativa, por lo que se sigue de la ley distributiva y del hecho de que $1$ es la identidad multiplicativa.

Lo único con lo que hay que tener cuidado es que es posible que $ 2 = 0$ (por ejemplo, en $\mathbb Z_2$), o quizás $2 = -1$ (por ejemplo, en $\mathbb Z_3$), por lo que estos "números enteros" dentro de su anillo podrían no comportarse de la manera que espera que se comporten los números enteros.

Por cierto, si se trata de una estructura algebraica que no tiene$1$, la gente suele definir una "acción" de $\mathbb Z$ en tus elementos, y usa la multiplicación para denotarlo, donde

$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$

Editar: Bien, agregaste "Con 'any' me refiero a cualquier otro anillo que también esté usando $\mathbb{R}$ como conjunto subyacente ", y esto debe abordarse: puede tomar el conjunto subyacente $\mathbb R$y definir una nueva suma y multiplicación extravagantes en él. El mas simple es$a \oplus b = a + b -1$ y $a \otimes b = ab - a -b + 2$.

Usemos el símbolo $S$ para denotar este nuevo anillo $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$. Entonces el nmero 1 en$\mathbb R$ (que voy a escribir como $1_{\mathbb R}$) no es la identidad multiplicativa del anillo $S$. $1_S$, que es la notación estándar para la identidad multiplicativa en un anillo llamado $S$, es de hecho $2$, con lo que me refiero al buen viejo 2 en el buen viejo $\mathbb R$, que podríamos querer escribir como $2_{\mathbb R}$, y si $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$.

Pero lo que plantea tu pregunta sigue siendo cierto en $S$, es decir $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; Sin embargo, tenga en cuenta que debe asegurarse de utilizar las operaciones de anillo de$S$y recuerda que estás usando $2_{S}$, que se define como $1_{S} \oplus 1_{S}$. (Y corresponde al número real subyacente$3_{\mathbb R}$!)

El anillo $S$Por supuesto, es extremadamente confuso trabajar con él, y nunca lo he visto usado en serio, solo para romper los cerebros de los estudiantes de matemáticas, para mostrarles cómo podemos definir grupos, anillos, campos, etc.que se comportan de manera muy diferente a lo que están acostumbrados. Es decir$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ es una advertencia, no una herramienta matemática de uso común, pero el único requisito que puso fue que $\mathbb R$era el conjunto subyacente, por lo que me dejaste abierto para definir la suma y la multiplicación realmente extrañas. No pasaría mucho tiempo agonizando por eso, pero puede ser un ejemplo divertido para contemplar y agudizar tu ingenio.

---

* Si alguien usa el símbolo "$2$"y dice que no es igual a $1+1$, puedes verlos graciosos, preguntarles qué diablos creen que están haciendo y exigirles que expliquen por qué están usando ese símbolo.

Answer 2

Esto es básicamente cierto por definición, aunque hay algunas cosas que debe tener en cuenta.

Algunas personas requieren que cualquier anillo $(R,+_R,\cdot_R)$ contiene una identidad multiplicativa $1_R,$ y ese anillo de homomorfismos $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ satisfacer $f(1_R) = 1_S.$ Si necesita esta condición, entonces para cualquier anillo $(R,+_R,\cdot_R)$ hay un homomorfismo de anillo único $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ En este caso, incluso si el conjunto $R$ no contiene literalmente $2,$ puedes pensar en $i_R(2)\in R$ como siendo $2$ (incluso podrías escribir $i_R(2) = 2_R$). Es cierto entonces que para cualquier$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ porque $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ Como señala JonathanZ, MonicaC, podría darse el caso de que $i_R(2)$se comporta de manera diferente a lo esperado, o se ve diferente de lo esperado. Puede ser que$i_R(2) = -1_R$ o incluso $i_R(2) = 0_R$! Vea el último párrafo para un ejemplo particularmente indignante de esto.

Si no requiere que sus anillos tengan identidades multiplicativas y / o que los homomorfismos de anillo no necesitan enviar identidades multiplicativas a identidades multiplicativas, entonces esto sigue siendo cierto hasta cierto punto, aunque debemos tener cuidado con lo que queremos decir.

Dejar $(R,+_R,\cdot_R)$ser nuestro anillo posiblemente no unital. En este caso, no podemos usar el homomorfismo único$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$de antes - ¡puede haber más de un homomorfismo de anillo ahora! Además, el conjunto$R$ podría no contener $2.$

¿Asi que que hacemos? Bueno, recuerda que cualquier anillo tiene un grupo abeliano subyacente.$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)para la definición de un módulo sobre un anillo si no está familiarizado). Esto significa explícitamente que tenemos una acción de$\Bbb{Z}$ en $R$que interactúa muy bien con la adición. Definimos esta acción estableciendo $$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ Note que no estoy escribiendo $n\cdot_R r$ - eso es porque no hay necesariamente un elemento $n\in R$ que se comporta como $n.$ Sin embargo, sigue siendo sensato pensar en agregar el elemento $r$ a sí mismo $n$ veces, que es lo que $n\cdot r$significa por definición. los$\cdot$ se refiere a la acción de $\Bbb{Z}$ en el grupo abeliano subyacente de $(R,+_R,\cdot_R),$no multiplicación en el propio anillo. En este sentido, la igualdad $$ 2\cdot r = r+r $$ siempre se mantiene, y esto es básicamente por definición.

Un ultimo comentario. Preguntó si esto es cierto para cualquier anillo que tenga$\Bbb{R}$como su conjunto subyacente. Debería tener un poco de cuidado aquí. Considere la siguiente estructura de anillo en$\Bbb{R}$: $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ Esta no es la estructura de anillo estándar en $\Bbb{R}$- la multiplicación es la misma, pero la suma es "retorcida". En este caso,$2\in \Bbb{R}$, pero no es cierto que $2\cdot' r = r +' r.$ Suponer $r = 2.$ Entonces: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ Por otra parte, $$ 2\cdot'2 = 4. $$ ¿Que pasó? ¡Dejaré que lo pienses por ti mismo antes de revelar la respuesta a continuación!

Lo que pasó aquí es que $2\in\Bbb{R}$ya no juega el mismo papel que antes. Nuestro anillo$(\Bbb{R},+',\cdot')$ todavía tiene una identidad multiplicativa, pero nuestro homomorfismo de anillo $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ ahora envía $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$Entonces hay un elemento de $(\Bbb{R},+',\cdot')$ que se comporta como $2$ debería - es $\sqrt[3]{2}$. Así tenemos$$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$para cualquier $r\in\Bbb{R}.$ Esto es muy confuso, porque ya tenemos $2\in\Bbb{R}$! En este caso, sería muy importante distinguir entre$2\cdot r$ (cual es $2\in\Bbb{Z}$ actuando $r,$ dando $r +'r$) y $2\cdot' r$ (que, como calculamos, no es $r +' r$en general). En la notación del primer párrafo,$2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ y $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$.

Para ser aún más explícito sobre lo que sucedió, dado cualquier conjunto $X,$ cualquier anillo $(R,+_R,\cdot_R),$ y cualquier biyeccion $f : X\to R,$ podemos dar $X$ la estructura de un anillo definiendo la adición en $X$ por $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ y $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ Estamos tomando la estructura del anillo $R$ y transportarlo a $X$ a través de la biyección $f$: primero, toma tus elementos $x$ y $y$ en $X,$ enviarlos a $R$ donde los agrega o multiplica, y luego los trae de vuelta a $X.$ En mi ejemplo anterior, estoy usando la biyección $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ que envía $x$ a $x^3.$