Definición de supremum

Question

Estoy desconcertado por una observación que hice sobre los textos de pregrado en Análisis real. Los conceptos de supremum e infimum no son particularmente fáciles de comprender para los estudiantes que son nuevos en la materia, y seguramente es mucho más fácil para ellos comprender el máximo y el mínimo de un conjunto (incluido el hecho de que pueden no existir) y de límites superiores. Todo lo que uno tiene que hacer es señalar intervalos como$[0,2]$ y $[0,2)$ y hablar sobre el número 2 y el número 3. ¿Por qué no definir el límite superior mínimo de un conjunto $S$ (en un campo ordenado) como el mínimo (si existe) del conjunto de todos los límites superiores para $S$?

He examinado una gran cantidad de textos de pregrado para Análisis Real, y nunca he encontrado esta definición simple, ni siquiera se menciona la palabra "mínimo". La mayoría de ellos lo definirán usando la forma mucho más difícil "es un límite superior, y para cualquier número estrictamente menor que él, habrá algo, etc., etc.". Algunos dirán: es un límite superior$M$ tal que si $x$ es un límite superior, entonces $M\leq x$. De nuevo, ¿por qué no decir "es el mínimo del conjunto de todos los límites superiores"? Algunos simplemente dirán "es el límite superior mínimo", pero incluso esto es un cambio de lenguaje, de mínimo a mínimo, y en cualquier caso usan "límite superior mínimo" como el nombre del concepto, y luego lo definen usando la forma complicada.

No pretendo publicar esto como un tema de discusión, solo como una pregunta genuina sobre si me estoy perdiendo algo importante que explique por qué es una buena idea definir supremum de esa manera.

Answer 1

No creo que haya ninguna diferencia entre decir que es el "es el límite superior mínimo" o decir que es el "es el mínimo del conjunto de todos los límites superiores".

Dejar $S$ ser un set y dejar $M$ser el conjunto de todos los límites superiores. Entonces tenemos dos casos posibles:$\exists \max S$ o $\nexists \max S$:

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$\exists \max S$:

Si $\exists \max S$, entonces esto significa que $\forall s \in S, s \leq \max S$, entonces esto implica que $\max S \in M$.

Ahora, supongamos que $\max S$ no es el mínimo de $M$. Esto significa que:$\exists m \in M: m < \max S$. Luego,$\forall x \in S, x \leq m$, porque $m$también es un límite superior. Pero$\max S \in S$, entonces este menas que $\max S \leq m$. La propiedad definitoria de$m$ fue: $m \in M: m < \max S$. Entonces esto es una contradicción. Esto significa que$\max S$ es de hecho el mínimo de $M$ y por lo tanto $\sup S = \min M = \max S$.

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$\nexists \max S$:

Ahora supongamos que $\nexists \max S$. Dejar$M$ ser el conjunto de todos los límites superiores.

Supongamos que $\nexists \min M$. Esto significa que$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Esto significaría que si$a_1 \in M$, luego $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Pero porque$a_1$ no es un mínimo entonces $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. lo que significa que podemos acercarnos arbitrariamente como queramos de$s$. Entonces esto significa que podemos encontrar una secuencia$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ tal que $\lim _n a_n = s$.

Ahora deja $s_1, s_2 \in S$ tal que $s_1 < s_2$. Entonces podemos encontrar una secuencia$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ tal que $\lim _n a_n = s_1$. Pero como podemos acercarnos arbitrariamente a$s_1$, esto significa que $\exists k \in \Bbb N:$ Si $n \geq k$ luego $s_1 < a_n < s_2$. Esta es una contradicción, ya que$a_n \in M$es un límite superior. Esto significa que$\exists \min M$.

Así que concluye que $\sup S = \min M$ incluso si $\nexists \max S$.

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Entonces, para cada set $S$, $\sup S = \min M$. Puedes hacer un argumento similar para demostrar que$\inf S = \max M$