Definición de una categoría n

Question

¿Cuál es la definición estándar, si la hay, de un $n$-categoría a partir de 2020? La literatura a la que puedo acceder es bastante limitada, pero haré todo lo posible para enumerar lo que tengo hasta ahora.

En [Lei2001], Leinster demostró diez definiciones diferentes para un $n$-categoría, y no hizo ningún comentario sobre si son equivalentes o no. En [BSP2011], los autores establecieron axiomas y afirmaron que todas (¿muchas?) Definiciones de un$(\infty,n)$-categoría hasta ahora satisfacen sus axiomas, y por tanto son equivalentes (hasta alguna acción). Incluyo esas definiciones aquí para completar:

• (a) Espacios Θn Segal completos de Charles Rezk,
• (b) los espacios Segal completos n-veces,
• (c) Categorías n Segal de André Hirschowitz y Simpson,
• (d) las categorías n-relativas de Clark Barwick y Dan Kan,
• (e) categorías enriquecidas en cualquier categoría de modelo interno cuya teoría de homotopía subyacente es una teoría de homotopía de (∞, n) -categorías,
• (f) cuando n = 1, las cuasicategorías de Boardman y Vogt,
• (g) cuando n = 1, conjuntos simpliciales marcados de Lurie, y
• (h) cuando n = 2, conjuntos simpliciales escalados de Lurie,

Sin embargo, no todos los casos en [Lei2001] parecen estar cubiertos, y hay incluso más aquí . ¿Cuál es la diferencia crucial entre definir un$n$-categoría y una $(\infty,n)$-¿categoría?

Pregunta

En resumen, hay muchas definiciones para categorías superiores ... entonces, ¿cuál deberíamos usar? ¿Existe una lista de todas las definiciones hechas y una discusión sobre cuál es equivalente a cuál bajo qué sentido? ¿También hay discusiones sobre qué definición satisface las tres hipótesis?

1. hipótesis de estabilización
2. hipótesis del enredo
3. hipótesis del cobordismo

postulado en [BD1995]?

Referencia

• [Lei2001]: Una encuesta de definiciones de n-Categoría- [Tom Leinster] - [arXiv: matemáticas - 0107188]
• [BSP2011]: Sobre la unicidad de la teoría de homotopía de categorías superiores- [Clark Barwick y Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
• [BD1995]: Álgebra de dimensiones superiores y teoría de campos cuánticos topológicos- [John C. Baez y James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]

Relacionados

• Traducir desarrollos sobre diferentes fundaciones

Answer 1

En primer lugar, existen importantes diferencias entre las nociones de estricta $n$-categoría, débil $n$-categoría, y $(\infty,n)$-categoría. La noción más sencilla es la de un estricto$n$-categoría, y no hay duda sobre la definición allí : un estricto$0$-categoría es un conjunto, y por inducción un estricto $n$-category es una categoría enriquecida en la categoría de $(n-1)$-categorías.

Es bueno que hayas citado el artículo de Báez y Dolan, que introdujo un modelo temprano para la noción de un débil $n$-categoría. Entre 1995 y 2001 hubo una enorme proliferación de otros modelos. Moralmente, deberían ser categorías débilmente enriquecidas en la categoría de débiles$(n-1)$-categorías, pero hay muchas formas de definir un enriquecimiento débil, porque hay muchas formas de realizar un seguimiento de las células superiores y cómo se combinan. En 2004 hubo una conferencia para tratar de reunir a todos y descubrir los puntos en común entre los modelos y cuáles eran equivalentes a otros. No resultó en uno emergente como el modelo "estándar", y no creo que debas esperar que eso suceda pronto. Sin embargo, ahora sabemos que los modelos para débiles$n$-Las categorías se dividen en dos campos. Wikipedia lo dice muy bien :

Básicamente, hay dos clases de teorías: aquellas en las que las celdas superiores y las composiciones superiores se realizan algebraicamente (lo más notable es la teoría de Michael Batanin de las categorías superiores débiles) y aquellas en las que se utilizan más modelos topológicos (por ejemplo, una categoría superior como un conjunto simple que satisface algunas propiedades de universalidad).

Wikipedia también dice que "se han dado varias definiciones, y decir cuándo son equivalentes y en qué sentido se ha convertido en un nuevo objeto de estudio en la teoría de categorías". Esto coincide con mi comprensión del campo tal como está actualmente. Creo que la teoría de categorías superiores está interesada en preguntas sobre los muchos modelos de$n$-categorías. Eso es diferente del estudio de$(\infty,n)$-categorías, que se sitúa más en la teoría de la homotopía.

Ahora, otros pueden venir y decir "$(\infty,n)$-categories are the right thing "porque MathOverflow tiene una mayor representación de teóricos de homotopía que de teóricos de categorías superiores. Es posible que tengas la misma sensación al leer el nLab, de nuevo según quién escribe allí. Pero si vas a pasar el rato en Sydney, Australia, donde la teoría de categorías superiores está viva y bien, no oirá a la gente $(\infty,n)$-categorías son el modelo "correcto" o que el teorema de unicidad para $(\infty,n)$-categories resuelve el problema de 2004 de averiguar qué modelos de débiles $n$-las categorías son equivalentes.

También hay mucho trabajo en curso relacionado con la hipótesis de estabilización, la hipótesis del enredo y la hipótesis del cobordismo en varios modelos de debilidad. $n$-categorías. Por ejemplo, Batanin demostró recientemente la hipótesis de estabilización para el modelo de Rezk basado en$\Theta_n$-espacios. Entonces Batanin y yo dimos otra prueba que vale para toda una clase de definiciones de$n$-categorías, incluido el modelo de Rezk. Ya en 1998 , Carlos Simpson probó la hipótesis de estabilización para la definición de Tamsamani de categorías n débiles. Gepner y Haugseng probaron la hipótesis de estabilización para$(\infty,n)$-categorías y el tipo de enriquecimiento débil que obtendría con la tesis doctoral de Haugseng (en enriquecido $\infty$-categorías). Por supuesto, como es sabido, Lurie escribió miles de páginas para probar la hipótesis del cobordismo para$(\infty,n)$-categories, y Ayala y Francis dieron una prueba más corta utilizando la homología de factorización.

Estoy seguro de que me perdí mucha literatura, y estoy seguro de que algunos no estarán de acuerdo conmigo al decir "sí, todavía es valioso estudiar modelos de $n$-categorías en lugar de solo estudiar $(\infty,n)$-categorías ". Pero solicitó referencias, así que aquí hay algunas para comenzar.