Dejar $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Determinar los conjuntos de puntos interiores, de acumulación, aislados y límite.

Question

Con suerte, esta pregunta es apropiada para este foro. Si no es así, por favor hágamelo saber. Me gustaría saber si las justificaciones (pruebas) de la solución son correctas.

Dejar $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. también$\sup E = 1$ con $1 \in E$ y $\inf E = 0$ entonces $E \subset (0,1]$.

1. Conjunto de puntos interiores de E: deje $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Tomar cualquiera$x \in E$. Considere el intervalo$(x-c,x+c)$ dado que ese intervalo contiene números racionales e irracionales, entonces $(x-c,x+c) \not\subset E$ entonces x no es el punto interior de E. Por lo tanto, ningún punto interior en E y el conjunto del punto interior de E es el conjunto vacío $\phi$.

2. Conjunto de puntos de acumulación de E: por cada $c > 0, c \in \mathbb{R}$, tomar cualquiera $x \in (0,1]$. Considere el intervalo$(x-c,x+c)$ ya que ese intervalo contiene números racionales e irracionales y $E \subset \mathbb{Q}$ luego $(x-c,x+c)\cap E$ contiene un número infinito de puntos de E. Por lo tanto, el conjunto de puntos de acumulación de E es (0,1].

3. Conjunto de puntos aislados de E: let $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Tomar cualquiera$x \in E$. Considere el intervalo$(x-c,x+c)$ dado que ese intervalo contiene números racionales e irracionales, entonces $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ entonces x no es un punto aislado de E. Por lo tanto, ningún punto aislado en E y el conjunto de puntos aislados de E es el conjunto vacío $\phi$.

4. Conjunto de puntos límite de E: Para cada $c > 0, c \in \mathbb{R}$ luego cada intervalo $(0-c,0+c)$ tiene al menos un punto fuera de E y al menos un punto dentro de E. También cada intervalo $(1-c,1+c)$ tiene al menos un punto fuera de E y al menos un punto dentro de E. De lo contrario, para cualquier $x \in E$ no todos los intervalos $(x-c,x+c)$ tiene al menos un punto fuera de E y al menos un punto dentro de E. Por tanto, el conjunto de puntos límite de E es {0,1}.

Nota: La referencia para las definiciones de puntos interiores, de acumulación, aislados y de límite es "Análisis real elemental" de B. Thomson, JB Brucker y AM Bruckner, Sec. 4.2, pág. 165.

Gracias de antemano por los comentarios.

Answer 1

Es correcto decir que $(x - c, x + c)$ contiene números racionales e irracionales, y es correcto decir que $E \subseteq \mathbb{Q}$; pero no es correcto decir eso$(x - c, x + c)$ contiene algún miembro de $E$Como consecuencia. Como ejemplo simple, dejemos$x = 3/4$ y $c = 1/8$; el intervalo$(5/8,7/8)$ no contiene miembros de $E$. Es importante destacar que solo porque todos los miembros de$E$ estan en $\mathbb{Q}$ no significa que los miembros de $\mathbb{Q}$ en $(x - c, x + c)$ resultan ser los mismos que están en $E$!

Este error afecta sus respuestas en 2, 3 y 4. Para comenzar a solucionarlo, aquí tiene una sugerencia sobre el n. ° 2.

Dejar $1/2 < x < 1$. El intervalo$(1/2, 1)$ es un intervalo abierto que contiene $x$ que no incluye a ningún miembro de $E$ (ya que todos los miembros de $E$ otro que $1$ y $1/2$ son menos que $1/2$), entonces $x$ no es un punto de acumulación de $E$.

Le dejo a usted, por ahora, aplicar esta línea de pensamiento de manera más general.