Dejar $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Muestre que el campo de división de $f$ encima $\mathbb{Q}$ tiene grado 1, 2, 3 o 6 sobre $\mathbb{Q}$.

Question

PREGUNTA: Deja$f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Muestre que el campo de división de$f$ encima $\mathbb{Q}$ tiene grado 1, 2, 3 o 6 sobre $\mathbb{Q}$.

El profesor nos dio esta pista, pero sigo sin entender. Necesito resolver esto paso a paso. Usando sus consejos.

SUGERENCIA: La mayor dificultad sería mostrar que no puede ser mayor que 6. Entonces, es suficiente elegir algunos valores para$a, b$ y $c$. Trate de encontrar por parte de Galois que la extensión tiene grado$\leq n!$. Necesita encontrar polinomios de esa manera que tengan campos de división de grados$1, 2, 3$ y $6$. Y luego demuestre que no puede ser más grande que eso. No puede ser mayor que 6 porque esto pasa en el peor de los casos ... Tiene una raíz real que tiene un grado$\leq3$ (siempre existe ya que el polinomio tiene un grado impar, usando el teorema del valor intermedio) y uno complejo (que también puede ser real) de grado $\leq 2$. Entonces el grado de extensión$\leq 6$. Usamos el teorema del valor intermedio porque los polinomios de grado impar tienen una raíz real.

Realmente agradezco su ayuda si se toma un tiempo para ayudarme.

Answer 1

Usamos un teorema fundamental de la teoría de Galois, que el grado de una extensión de Galois es igual al orden del grupo de Galois de esa extensión. Tenga en cuenta que las extensiones obtenidas al agregar raíces de un polinomio con coeficientes en el campo son automáticamente extensiones de Galois.

La lógica es que desde $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ es un cúbico, su grupo de Galois (es decir, el grupo de Galois de un campo de división) será un subgrupo de $S_3$ que tiene orden $6$.

Más explícitamente, dejemos $x_1, x_2, x_3$ ser las raíces (complejas) de $f$. Entonces ciertamente$K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$es un campo dividido. El grupo Galois$G$ es el conjunto de esos automorfismos de $K$ esa solución $\mathbb{Q}$, y por lo tanto están determinados por cómo actúan sobre las raíces. Sin embargo, dado que cualquier automorfismo corrige$f$, la imagen de una raíz bajo cualquier automorfismo sigue siendo una raíz, por lo que $G$ permuta las raíces y por lo tanto $G$ es un subgrupo de $S_3$.

Ahora, la segunda parte es encontrar polinomios que tengan grupos de Galois. $1$, $C_2$, $C_3 = A_3$ y $S_3$.

$1$ es bastante fácil: simplemente tome el producto de tres polinomios lineales como $(x-1)(x-2)(x-3)$.

por $C_2$, necesitas un polinomio cuadrático con raíces no racionales, por ejemplo $(x-1)(x^2+1)$.

por $S_3$, puedes repetir la idea en $C_2$ pero esta vez dando una raíz no racional a la parte lineal, por ejemplo $x^3 -2$.

Obtener un polinomio con $C_3$ es quizás el más difícil, pero con un poco de prueba y error o alguna información adicional sobre un objeto llamado "el discriminante" $x^3 -3x+1$ es un ejemplo.

Answer 2

Dejar $L$ ser el campo de división de $f$ encima $\mathbb{Q}$. Ya que$\mathbb{Q}$tiene característica cero, la extensión es separable y es un campo de división, por lo que es normal. Por lo tanto$L/\mathbb{Q}$ es una extensión de Galois.

Sabemos que el grupo Galois $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ actúa fielmente en las raíces de $f$ en $L$. Hay tres de esas raíces$\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ decir, entonces $G$ puede verse como un grupo de permutaciones de $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$, lo que lo convierte en un subgrupo del grupo simétrico $S_3$. Ya que$S_3$ tiene orden $6$, se sigue que el orden de $G$ divide $6$, así es $1,2,3$ o $6$.

Es un resultado estándar de la teoría de Galois que el grado de una extensión de Galois es igual al orden de su grupo de Galois, por lo que $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ es $1, 2, 3$ o $6$.

Finalmente, el comentario de Piquito muestra que cada una de estas posibilidades realmente ocurre.