Demostrar la monotonicidad de una función implícita

Aug 18 2020

Estaba estudiando la propiedad de la función Beta y encontré la siguiente igualdad:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$

dónde $\text{B}$ significa la función Beta.

Puedo mostrar eso por cada $\alpha>0$, existe un único $k \in (0,\infty)$st se cumple la igualdad anterior. Lo que me interesa es que cuando trazo la gráfica de$k$ en términos de $\alpha$ en Wolfram, resulta que $k$ es en realidad una función estrictamente decreciente wrt $\alpha$.

No pude probar la afirmación anterior, pero tengo algunas intuiciones. La integración por partes da como resultado que la igualdad anterior sea equivalente a:

$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$

Así que cuando $\alpha$ es grande, el término $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ se vuelve dominado en $\lambda=1/2$. Por lo tanto,$2k/4$ debe permanecer cerca de $1$también. Cuando$\alpha$ es pequeño, $k$ debe ser significativamente mayor que $2$ para compensar la parte donde $\lambda$ Alejate de $1/2$.

Cualquier sugerencia / sugerencia es muy apreciada.

Respuestas

1 Avocaddo Sep 03 2020 at 08:04

Dejar $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. Por el teorema de la función implícita aplicado a$R\left(a,k\right)=0$ tenemos

$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$

porque $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ y $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Avísame si esto está claro.