Demostrar que existe un polinomio que se anula en todos los puntos de$X$curva algebraica

Aug 19 2020

Dejar$X \subset \mathbb{A}^3$Sea una curva algebraica y suponga$X$no contiene una línea paralela a la$z$- eje. Demostrar que existe un polinomio distinto de cero$f(x,y)$desapareciendo en todos los puntos de$X$.

Creo que esta pregunta requiere un argumento dimensional y, para ser más preciso, estaba pensando en aplicar el siguiente resultado:

Si$X$es un irreductible$n$- variedad cuasiproyectiva dimensional y$Y \subset X$el conjunto de ceros de$m$formularios en$X$, entonces todo componente no vacío de$Y$tiene dimensión$\geq n -m$.

Entonces, en mi caso$X$tiene dimensión$n= 1$porque es una curva algebraica,$m = 1$y$Y$es el conjunto de ceros de$f$. De esa manera, entiendo que cada componente de$Y$tiene dimensión$\geq 0$. Entonces parece$f$desaparece en algunos puntos de$X$y la intersección nunca está vacía. Para probar el ejercicio, debo probar que$\dim Y = 1$. No sé cómo moverme desde aquí y no estoy seguro de la corrección de mi razonamiento hasta este punto.

Respuestas

1 KReiser Aug 20 2020 at 05:31

Intuitivamente, la forma en que uno encuentra tal polinomio es considerando la proyección de la curva$X$sobre la$xy$-plane y luego encuentre un polinomio que se desvanezca en la imagen de esta proyección. Este será un polinomio en$x$y$y$que es constante a lo largo de todas las fibras verticales de esta proyección, y por lo tanto se desvanecerá en$X$.

Para construir tal polinomio, considere$I(X)$y tomar$f_1,\cdots,f_n$como un grupo electrógeno sin$f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. Por la condición de que$X$es una curva en$\Bbb A^3$,$n$Por lo menos$2$(este es el único lugar donde la dimensión es importante). Si alguno$f_1$o$f_2$es solo un polinomio en$x$y$y$, hemos terminado. De lo contrario, podemos usar la resultante de$f_1$y$f_2$con respecto a$z$para producir un polinomio en sólo$x$y$y$que se desvanece por doquier$f_1$y$f_2$hacer: en particular, tal polinomio debe desaparecer en$X$.