Demuestre que la siguiente función es integrable de Riemann

Question

Dejar $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ser definido por \ begin {ecuación *} f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {for} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {de lo contrario} \ end {cases} \ end {ecuación *} Demuestre que$f$ es Riemann Integrable.

Sé que esto se puede probar por el hecho de que esta función $f$ es discontinua solo en muchos puntos contables $\frac{1}{n}$, por lo que es Riemann Integrable.

Quiero ver el procedimiento que implica encontrar $L(P,f)$ y $U(P,f)$ dónde $P$ ¿Se ha apoderado alguna partición? $[0,1]$. No puedo probar que sea Riemann Integrable utilizando este procedimiento. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias por adelantado.

Answer 1

Es fácil demostrar que $L(P,f) = 0$ para cualquier partición.

Tomar $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (dónde $n$ es grande) y una partición que incluye los subintervalos

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ y demostrar que $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Para cualquier $\epsilon > 0$ podemos elegir $n$ tal que $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ y se cumple el criterio de Riemann.