Demuestre que la suma de los radios de los círculos

Question

$ABCD$es un cuadrilátero cíclico. Demuestra que la suma de los radios de los círculos dibujados dentro de los triángulos$\Delta ABC$ y $\Delta CDA$ es igual a la suma de los radios de los círculos dibujados dentro de los triángulos $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

Se me ocurrió la idea de que puedo usar el https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralspara demostrar que la distancia entre los centros es igual, hacen un rectángulo, pero no puedo resolverlo. Por favor ayuda.

Answer 1

Insinuación. Utilice el teorema de Carnot: dado un triángulo$\Delta ABC$, dejar $O$ denotar su circuncentro, $R$ su circunradio, y $r$su inradius. Dejar$O_1,O_2,O_3$ ser además las proyecciones ortogonales de $O$ sobre $BC, CA, AB$respectivamente. Entonces tenemos$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Aviso: el segmento $OO_i$ se toma como negativo si $OO_i$ yace completamente afuera $\Delta ABC$y positivo de lo contrario.

Aquí,$\color{blue}{OO_2}$ sería negativo, mientras que $\color{red}{OO_1, OO_3}$son positivas. Por conveniencia, deje$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Darse cuenta de$OO_3BO_1$ es un cuadrilátero cíclico ya que $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, y por lo tanto, puede usar el teorema de Ptolomeo para inferir $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$De forma análoga, obtendrá \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {casos}

Sume estos y considere la ecuación conocida $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (¿Ves ahora por qué es importante tomar $OO_2$ser negativo?). La primera parte es solo una consecuencia de dividir$\Delta ABC$en tres triángulos con el incentro como vértice. La segunda parte es trivial. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Ahora, volviendo a tu problema, es bastante fácil terminar una vez que tengamos esta joya :)

(Me referiré a la imagen). Observe que usar el teorema de Carnot dos veces, una vez para $\Delta ABD$ y otra vez para $\Delta BCD$, obtenemos $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Darse cuenta de $OO_5$ es negativo para $\Delta ABD$ y positivo para $\Delta BCD$. Por lo tanto, si agrega estas dos ecuaciones, obtendrá$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Es fácil ver que esta expresión será idéntica cuando se refiera a $r_3+r_4$.