Densidad de Borel establecida en 0

Aug 17 2020

El teorema de la densidad de Lebesgue dice que si $E$ es un conjunto medible de Lebesgue, entonces la densidad de $E$ en casi todos los elementos de $E$ es 1 y la densidad de $E$ en casi todos los elementos que no están en $E$ es 0.

Sin embargo, ¿es cierto que para cada $t$ estrictamente entre 0 y 1, hay un conjunto Borel $E$ que tiene densidad $t$ en 0?

No tengo idea de cómo construir un conjunto de este tipo para un valor aleatorio de $t$. Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas

2 tomasz Aug 17 2020 at 02:11

Si. En dimensión$\geq 2$ esto es trivial, así que supongo que estamos mirando la línea real.

Dado un $n>0$ y $\alpha\in [0,1]$, poner $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ y $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Poner $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Entonces la densidad de$U_{n,\alpha}$ a $0$ es exactamente $\alpha$. Para ver esto, escribe$m_r$ para $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ y tenga en cuenta que:

  • Si $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, entonces $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • Si $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, entonces $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
  • $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.
2 zhw. Aug 17 2020 at 02:01

Pista: deja $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Dejar $L_n$ ser la longitud de $I_n.$ Fuera de $I_n$ elegimos un subintervalo

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ es un "$t$-mordida "de $I_n.$ Conjunto $E=\cup J_n.$ Si estoy pensando en esto bien, tendremos

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 01:26

Considere una secuencia de números $r_n \searrow 0$ tal que $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Dejar$\theta$ ser una medida que preserva el mapa de $(0,r_1]$ a $\mathbb R^2$ eso toma $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ a $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Entonces deja$A$ ser un 'pedazo de pastel' centrado en el origen en $\mathbb R^2$, con ángulo $\alpha$en la esquina. Luego$\theta^{-1}(A)$ será un conjunto con densidad $\alpha/(4\pi)$ a $0$.

Esto dará densidades $0 \le t \le \frac12$. Llegar$\frac12 < t \le 1$, simplemente agrega $(-\infty,0]$.