Densidad y distribuciones de las soluciones CONOCIDAS numérica o analíticamente de Riemann $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

Sabemos que la conjetura sobre la hipótesis de Riemann se trata de que los ceros no triviales están en $$(1/2 + r i)$$ para algunos $r \in \mathbb{R}$ de la función zeta de Riemann.

Mi pregunta es cuánto se sabe acerca de la densidad y las distribuciones de esas soluciones CONOCIDAS numérica o analíticamente de$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

Encontré una publicación relacionada, pero fue hace unos 8 años, así que tal vez tengamos una mejor actualización.

Densidad media de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann

Answer 1

En mi humilde opinión, un artículo clave es el que se publica en el año $2014$por G.Franca y A.LeClair . En particular, proporcionan una aproximación muy buena y sencilla (ecuación$(229)$ en el artículo vinculado). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ dónde $W(.)$ es la función de Lambert;

Repitiendo algunos de sus cálculos para $n=10^k$, tenemos $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

Derivación de Mathematica 8.0.1 de la aproximación de Eric Weisstein para puntos de Gram:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Derivación modificada de Mathematica 8.0.1 de la aproximación de Eric Weisstein dando puntos Franca-LeClair:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

La dificultad básica para obtener una asintótica precisa para los ceros zeta de Riemann es que la función theta de Riemann-Siegel no es invertible. User reuns me señaló que la asintótica exacta de los ceros zeta de Riemann se conoce desde hace aproximadamente 120 años y la asintótica exacta es la inversa funcional de la función theta de Riemann-Siegel, según la Wikipedia francesa.