Derivada temporal del mapeo $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - generador infinitesimal

Question

¿Alguien puede explicar la ecuación? $1$ en esto https://math.stackexchange.com/a/697412/767953en una forma más simple? Además, no puedo entender cómo de la ecuación$1$ Podemos ver eso $u$ es la solución a la ecuación del calor.

Answer 1

Insinuación

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Te dejo justificar cada igualdad como una tarea. Para su otra pregunta, se puede probar que el generador infinitesimal del movimiento browniano si está dado por$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Hágalo como tarea si esto no está claro para usted.