Derivadas parciales y restricciones sobre variables

Question

Creo que tengo un problema con la comprensión básica de las derivadas parciales al cambiar variables.

Entiendo que si solo cambiamos las variables, p. Ej. $(x_1, x_2, x_3) \rightarrow (y_1,y_2,y_3)$, las derivadas parciales cambian a medida que $\frac{\partial}{\partial x_i} \rightarrow \sum\limits_{j=1}^{3}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial y_j}$. Sin embargo, no entiendo qué sucede si reducimos el número de variables introduciendo restricciones. Por ejemplo, suponga que la ecuación$g(x_1,x_2,x_3)=0$se ha completado. Ahora nos quedan 2 grados de libertad, entonces, ¿cómo se calculan las derivadas parciales con respecto a la nueva variable? Para ser más concretos, supongamos que las nuevas variables son$(x_1, x_2)$ y $x_3 = f(x_1, x_2)$, Cuáles son $\frac{\partial}{\partial x_1}$ y $\frac{\partial}{\partial x_2}$?

Answer 1

Si tienes una función $h(x,y,z)$y tu defines $z=f(x,y)$, entonces la regla de la cadena dice

$$ \frac{\partial}{\partial x} h(x,y,f(x,y)) = \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial z} \frac{\partial f}{\partial x} $$

y de manera similar para $y$. En esta fórmula, los términos$\frac{\partial h}{\partial x}$ y $\frac{\partial h}{\partial z}$ en el lado derecho debe entenderse que se evalúa en $z=f(x,y)$.