Derivando el PDF de $\chi_k^2$
Dejar $\{X_i\}_{i=1}^{k}$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes tal que $X_i\sim N(0,1)$, luego, la variable aleatoria $\sum_{i=1}^kX_i^2\sim\chi_k^2$. Es fácil demostrar que el PDF de$\chi_1^2$es \ begin {ecuación} f (x): = \ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ exp (- \ frac {x} {2}) x ^ {- \ frac { 1} {2}} 1 _ {[0, \ infty)} \ text {. } \ end {ecuación} Se sabe que si$X$ y $Y$ son absolutamente continuos e independientes con PDF $f$ y $g$ respectivamente, entonces $X+Y$ es absolutamente continuo con PDF $h(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)dy$, además, si $\{Y_i\}_{i=1}^k$ son absolutamente continuos e independientes, entonces $\sum_{i=1}^kY_i$es absolutamente continuo con PDF \ begin {ecuación} h (x_1) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ cdots \ int _ {\ mathbb {R}} f_1 (x_1- \ sum_ {i = 2} ^ kx_i) \ prod_ {i = 2} ^ {k} f_i (x_i) dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {ecuación} donde$f_i$ es el PDF de $Y_i$. Aplicando esto a$Y_i:=X_i^2$y simplificando tenemos que \ begin {ecuación} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac { x_1} {2} \ right) \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 3} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i} ((x_1- \ sum_ {i = 3} ^ kx_i) -x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {ecuación} realizando la integral más interna que tenemos que es igual$\pi$, entonces \ begin {ecuación} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} { 2} \ derecha) \ pi \ int_ {0} ^ \ infty \ cdots \ prod_ {i = 4} ^ kx_i ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ \ infty x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {ecuación} pero ahora, la integral más interna diverge, así que, obviamente, algo anda mal aquí. ¿Podrías ayudarme a detectar el error?
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La pregunta principal ya está resuelta (¡gracias!) , Ahora, solo por diversión, si definimos$a_i=x_1-\sum_{j=i}^kx_j$, entonces, está claro que $a_i=a_{i+1}-x_{i+1}$, entonces el problema ahora es calcular \ begin {ecuación} h (x_1) = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} \ sqrt {\ pi}} \ right) ^ k \ exp \ left (- \ frac {x_1} {2} \ right) \ pi \ int_ {0} ^ {a_k} x_k ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdots \ int_ {0} ^ {a_4} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} \ int_ {0} ^ {a_3} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_3dx_4 \ cdots dx_k \ text {,} \ end {ecuación} calculando las primeras integrales más internas tratar de encontrar un patrón nos muestra lo siguiente: \ begin {collect} \ int_ {0} ^ {a_2} (a_2-x_2) ^ {- \ frac {1} {2}} x_2 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ pi a_2 ^ 0 \\ \ int_ {0} ^ {a_3} (a_3-x_3) ^ {0} x_3 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = 2a_3 ^ {\ frac {1} {2}} \\ \ int_ {0} ^ {a_4} (a_4-x_4) ^ {\ frac {1} {2}} x_4 ^ {- \ frac {1} {2}} dx_2 = \ frac {\ pi} {2} a_4 ^ 1 \ text {,} \\ \ end {collect} el patrón parece claro para el$a$es, pero no tanto por el $\pi$y los no$\pi$coeficientes. Sigue así$\frac{4}{3}$, $\frac{3\pi}{8}$, $\frac{16}{15}$, $\frac{5\pi}{16}$, $\frac{32}{35}$, $\frac{35\pi}{128}$, $\frac{256}{315}$, $\frac{63\pi}{256}$, ... y es un poco raro !! Parece realmente difícil encontrar un patrón aquí con el objetivo de derivar finalmente por inducción el PDF de$\chi_k^2$ (Sé que las funciones características son el camino a seguir, ¡pero aún quiero divertirme!)
Respuestas
La integral más externa debe tener un límite superior $x$no $\infty$. Por ejemplo, el$\chi_2^2$ caso se reduce a$$\int_0^x\frac{1}{2\pi\sqrt{y(x-y)}}\exp\frac{-x}{2}dy\stackrel{y=x\sin^2t}{=}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\pi}\exp\frac{-x}{2}dt=\frac12\exp\frac{-x}{2}.$$
Aquí hay un enfoque alternativo: dado que $\chi_1^2$ la distribución tiene función característica $(1-2it)^{-1/2}$, la $\chi_k^2$ caso tiene cf $(1-2it)^{-k/2}$. Solo un PDF puede tener este cf; por inspección, es$\frac{2^{-k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp\frac{-x}{2}$ en $[0,\,\infty)$.
Después de probar que cualquier $X_i^2\sim \chi_{(1)}^2$ según el hecho de que $X_i$ independiente de $X_j$ implica también $X_i^2$ es independiente de $X_j^2$ su pdf puede derivarse inmediatamente usando MGF y sus propiedades