Diferencia entre $\forall n\in\mathbb N$ y $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Realmente confundido acerca de la diferencia entre $\forall n\in\mathbb N$ y $\bigcap_{i=1}^\infty$.
En Comprensión del análisis, cito el ejercicio 1.2.13. ese
Es tentador apelar a la inducción para concluir $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
pero la inducción no se aplica aquí. La inducción se usa para demostrar que una declaración particular es válida para cada valor de$n\in\mathbb N$, pero esto no implica la validez del caso infinito.
He investigado un poco sobre eso durante un tiempo y he entendido que eventualmente el hecho de que pueda señalar un $n\in\mathbb N$ significa que $n$es finito. Por tanto, no puede aplicarse al caso infinito.
Sí, entiendo el fundamento. Pero si$\forall n \in\mathbb N$ no funciona, entonces, ¿qué funciona para probar un caso infinito?
Así como me siento cómodo con la diferencia. La confusión surge nuevamente en el libro y cito lo siguiente, con la esperanza de hacerlo lo más breve posible:
La propiedad de intervalo anidado asume que cada $I_n$ contiene $I_{n+1}$. Son una secuencia anidada de intervalos cerrados definidos como tales.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
La demostración se centra en encontrar un solo número real x que pertenezca a todos $I_n$ y argumenta que es supA.
En la prueba, decía $x\in I_n$, para cada elección de $n\in\mathbb N$. Por lo tanto,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ y la intersección no está vacía.
Avíseme si los detalles perdidos son necesarios. Sin embargo, mi punto es solo eso:
- ¿Por qué en la regla infinita de Morgan? $\forall n\in\mathbb N$ no se aplica a $\infty$
- Por qué en la propiedad de intervalo anidado $\forall n\in\mathbb N$ se aplica a $\infty$
Respuestas
$\forall n\in\Bbb N$ nunca se aplica a$\infty$, porque $\infty$ no es un elemento de $\Bbb N$. En el teorema del intervalo anidado no hay $I_\infty$. Lo que sabemos es que$x\in I_n$ para cada $n\in\Bbb N$, y por lo tanto por definición $n$ está en la intersección de los conjuntos $I_n$. Podrías llamar a esta intersección$I_\infty$ si quisiera hacerlo, pero esa sería una elección arbitraria completamente independiente del argumento de inducción que involucra los conjuntos $I_n$; también podrías llamarlo George. (Hace muchos años, un amigo mío publicó un artículo sobre un objeto matemático al que llamó George).
En cuanto a la ley de De Morgan, se prueba para familias arbitrarias de conjuntos simplemente mostrando que cada lado de la identidad propuesta es un subconjunto del otro. Esto se hace para familias de conjuntos indexadas arbitrarias aquí y en esta respuesta (y probablemente también en otros lugares en MSE). La demostración no depende del teorema de familias finitas de conjuntos y no implica ningún tipo de inducción.
La regla de De Morgan funciona para conjuntos infinitos. Pero esto no se puede probar mediante la inducción de la versión finita de la regla de De Morgan, ya que la inducción es una herramienta para probar que un enunciado es verdadero para un valor arbitrariamente grande de$n$ (pero $n$ sigue siendo finito).
En cuanto a la intersección de un número infinito numerable de conjuntos, esto se sigue de la definición. Nosotros decimos eso$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ si $x \in I_n$ para todos $n \in \mathbb N$.