Diferencia entre los términos consecutivos de una secuencia creciente que consta de números enteros positivos compuestos por un número finito de primos
Suponer que $\{x_n\}$ es una secuencia creciente cuyos elementos son números enteros positivos compuestos por un número finito de primos $p_1, \dots, p_s$. Quiero verificar el siguiente límite$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ He leído un resultado que da un límite inferior para la diferencia entre los términos consecutivos de $\{x_n\}$en la literatura. Este resultado implica que la diferencia entre los términos consecutivos diverge. Sin embargo, ¿puedo demostrar de manera elemental que el límite anterior es infinito?
Respuestas
Esta respuesta de Felipe Voloch en mathoverflow.net es relevante:
Sí, es cierto que este tipo de ecuación ax + by = c, donde a, b, c no son cero y son fijos y x, y solo pueden tener factores primos en un conjunto finito, solo tiene un número finito de soluciones. Este es un caso especial del teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas.
Escoger $a=1$ y $b=-1$, así que eso $x-y=c$ tiene solo un número finito de soluciones para cualquier $c$. Por lo tanto, solo hay un número finito de pares$x,y$ con $|x-y|<M$ para cualquier dado $M$.
Desafortunadamente, el teorema de Siegel no es en absoluto elemental. Sospecho que no hay prueba elemental.