Diferenciando $x^x$ "directamente"

Question

Sé que la derivada es $x^x\log x+x^x$, pero obtuve esto usando diferenciación logarítmica. ¿Es posible obtener esto 'directamente' sin traer registros o exponenciales?

Answer 1

Hay un buen truco con el cálculo multivariable que de alguna manera es más natural: si escribe $f(y, z) = y^z$ y $g(x) = (x, x)$ para el mapa diagonal, entonces $x^x = f(g(x))$. Ahora el diferencial de$f$ en un punto $(y, z)$ es $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ y el diferencial de $g$ es solo $(1,1)$, entonces por la regla de la cadena la derivada de $x^x$ es $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$.

Answer 2

Asumiré que lo que quiere decir es diferenciarse de los primeros principios, en lugar de usar$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$Necesitas evaluar$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

Si $y$ y $z$ son funciones de $x$, entonces la derivada total de una función $f(y,z)$ con respecto a $x$ es igual a $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ A partir de este hecho de cálculo multivariable, podemos derivar varias reglas de diferenciación de cálculo de una variable:

• Tomando $f(y,z) = yz$, tenemos $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ y $\frac{\partial f}{\partial z} = y$, por lo que (*) se convierte en la regla del producto $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• Tomando $f(y,z) = \frac yz$, tenemos $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ y $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$, por lo que (*) se convierte en la regla del cociente $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• Finalmente, tomando $f(y,z) = y^z$, tenemos $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ y $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$, y así (*) se convierte en $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ En particular, el establecimiento $y=x$ y $z=x$, así que eso $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, rinde $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

Esta explotación de la derivada total también ayuda con las derivadas de expresiones como $\int_a^x f(x,t)\,dt$, y ayuda a explicar por qué todas estas reglas tan diferentes tienen la forma "pretenden todas menos una de las funciones de $x$ son constantes, una a la vez, y suman todas esas derivadas simuladas para obtener la derivada real ".

Answer 4

Considerar,

$$f(x) = x^x$$

Luego,

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

Ahora, considere la mayoría de los términos entre paréntesis,

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

Y,

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

Por lo tanto,

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

Por la definición de que derivada es variación de primer orden,

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

Referencia