Dificultad para comprender el significado de la paradoja de Grelling.
Antecedentes: soy un novato en matemáticas, pero aún no me inscribo en la universidad. Comencé a leer al azar la Introducción a la lógica matemática de Mendelson , cuando me topé con esta paradoja en la sección introductoria:
Paradoja de Grelling: Un adjetivo se llama autológico si la propiedad denotada por el adjetivo es válida para el adjetivo mismo. Un adjetivo se llama heterológico si la propiedad denotada por el adjetivo no se aplica al adjetivo en sí. Por ejemplo, 'polisilábico' e 'inglés' son autológicos, mientras que 'monosilábico' y 'francés' son heterológicos. Considere el adjetivo "heterológico". Si "heterológico" es heterológico, entonces no es heterológico. Si "heterológico" no es heterológico, entonces es heterológico. En cualquier caso, lo heterológico es tanto heterológico como no heterológico.
Me gustaría entender lo siguiente:
- ¿Cuál es la fuente de la falacia lógica en esta paradoja? Si formulo un conjunto$A$ de todos los adjetivos y subconjuntos $A_a$ y $A_h$ correspondientes a los adjetivos autológicos y heterológicos, respectivamente, entonces podría darse el caso de que $\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, es decir, no pertenece a ninguno de los dos conjuntos (a menos que $A_a\cap A_h=\emptyset$ y $A_a\cup A_h=A$).
- En una nota más ligera, me gustaría saber sobre el significado matemático de esta paradoja y cómo se trata en las teorías de conjuntos modernas.
Aunque entiendo que la (s) respuesta (s) podrían ser muy abstractas, agregue una analogía más simple junto con una explicación técnica necesaria, si es posible.
Respuestas
Si $A, A_a,$ y $A_h$ en realidad "tiene sentido" - más sobre esto a continuación - entonces claramente tenemos eso $A_a$ y $A_h$ dividir $A$: $A_h$ se define como $A\setminus A_a$. Entonces tu propuesta no funciona.
La solución es que $A_a$ y $A_h$son de hecho más complicados de lo que parecen. Solo tenemos una paradoja si el adjetivo "heterológico" está en$A$. Pero resulta que esto no sucede: básicamente, para definir la heretologicidad necesitamos usar un predicado de verdad para$A$y no tenemos uno de esos en$A$sí mismo .
Aquí hay una forma de ver la paradoja en acción.
Dejar $\ulcorner\cdot\urcorner$ sea su función de numeración Godel favorita y deje $Form$ser el conjunto de todas las fórmulas de primer orden en el lenguaje de la aritmética. Para simplificar, escribamos "$\mathbb{N}$"para la estructura $(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Entonces el set$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$ la versión de $A_h$ para las fórmulas de primer orden de la aritmética, no puede definirse por sí misma por una fórmula de primer orden de la aritmética: si $X$ fueron definidos por alguna fórmula $\theta$ de aritmética de primer orden, es decir, si tuviéramos $$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$ por alguna fórmula $\theta$ de la aritmética de primer orden, obtendríamos una contradicción al considerar si $\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
De manera más general, podemos generalizar la configuración particular anterior a cualquier configuración en la que tengamos alguna lógica $\mathcal{L}$, alguna estructura $\mathfrak{A}$, y algún mecanismo de "codificación" apropiado de $\mathcal{L}$-fórmulas en $\mathfrak{A}$. Obtener los detalles correctos requiere algo de reflexión, pero el punto es que la paradoja de Grelling ilustra un fenómeno fundamental de "intensificación" que no podemos evitar: el conjunto de Grelling para una lógica / estructura / sistema de codificación particular no se puede definir en esa estructura por una fórmula de esa lógica.
(Tenga en cuenta que $X$de hecho, puede definirse en contextos más amplios : por ejemplo, es definible en$\mathbb{N}$por una fórmula de lógica de segundo orden, y es definible por una fórmula de primer orden en el universo de conjuntos , de los cuales$\mathbb{N}$ forma una pieza muy pequeña.)