Dimensión y explosiones

Question

Considere una variedad proyectiva $X$, y deja $Y$ser una subvariedad cerrada. Considere la explosión de$X$ a lo largo de Y: obtenemos una nueva variedad $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, junto con un mapa biracional $$b:\tilde{X}\to X$$ que es un isomorfismo fuera del locus excepcional $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.

Pregunta: ¿Es cierto que $\dim\tilde{X}=\dim X$?

Mi idea: la explosión es un mapa biracional, por lo tanto, un isomorfismo en un subconjunto abierto (denso); dado que la dimensión de una variedad se define como el grado de trascendencia del campo de función, que es el mismo en conjunto abierto, entonces podemos concluir.

¿Es correcta mi idea? Pregunto esto porque, aunque estoy convencido de esto para el caso de hacer estallar un punto, para el caso general de una subvariedad no estoy seguro, porque intuitivamente me parece que estoy agregando bastante gran espacio (lo sé, no es riguroso, pero acabo de comenzar a estudiar este tema).

Answer 1

Hay un par de cosas a tener en cuenta. Una es que creo que quieres que viva la construcción de expansión$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; al menos esto funciona cuando$Y$ es una intersección completa.

Sin embargo, en general, como dijiste, el locus excepcional surge como la proyectivización del paquete normal $\mathcal N_{Y|X}$. Conjunto$\dim X = n$ y $\dim Y = m$. El rango del paquete normal es siempre la codimensión de$Y\subset X$, por lo tanto $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ tiene dimensión relativa $n - m - 1$ (lo que significa que esta es la dimensión de las fibras de $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, el mapa de estructura del paquete proyectivo). Ahora agregando a esto la dimensión de$Y$, obtenemos la dimensión del paquete proyectivo como una variedad, a saber $(n-m-1) + m = n-1$, mostrando que tiene codimensión $1$ en $X$. Es por esta razón que el lugar excepcional de una explosión se denomina típicamente divisor excepcional .