distancia del problema establecido

Question

$\Omega$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$.dejar $A\subset \Omega$ ser el subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$.

Demuestra la distancia $d(\partial \Omega,A)>0$

Mi prueba, asume $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$, entonces existe una secuencia $(x_n)\in A$ tal que $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ .Ahora desde $A$ está acotado, existe subsecuencia de convergencia, $x_{n_k}\to x\in A$(ya que $A$ está cerrado.)

Entonces, por la función de continuidad de la distancia tenemos $d(\partial\Omega,x) = 0$ lo que implica $x\in \partial\Omega$ (ya que $\partial \Omega$ está cerrado), lo cual es una contradicción ya que no hay intersección de $\partial\Omega$ y $A$ debido a $\Omega$ Esta abierto.

La pregunta es que uso la suposición de que $A$ es un conjunto acotado para construir la secuencia, pero de hecho esta condición acotada parece no ser necesaria, entonces, ¿cómo probar si solo asumimos $A$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$ que contiene en $\Omega$?

Answer 1

Esto es falso si descartamos la compacidad: $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ y $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$. Entonces$A$ es un subconjunto cerrado del conjunto abierto $\Omega$ y $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ para todos $,n$. Entonces$d(\partial \Omega, A)=0$