¿Doble conmutador de una subálgebra inyectiva todavía inyectiva?

Question

Considere un álgebra de von Neumann $A_0$ y un isomorfismo inyectivo * $\pi : A_0 \to B(H)$.

Entonces tenemos una * -subálgebra $\pi(A) \subset B(H)$, que es abstractamente * -isomórfico al álgebra de von Neumann $A_0$, pero que podría no ser una "subálgebra de von Neumann" de $B(H)$, es decir, no estamos garantizados $\pi(A)''=\pi(A)$. (Por ejemplo, esta respuesta ).

Si $A_0$ es inyectivo, podemos concluir $\pi(A)''$inyectable? Si ayuda, me interesa el caso.$A_0$ es el hiperfinito $II_1$ factor.

Answer 1

No, no lo es. Una representación irreductible de un II$_1$ factor representa fielmente como una densa subálgebra de un inseparable $B(H)$, que luego no puede ser inyectable.