¿Dónde termina la integración?

Question

Soy nuevo en integrales. estoy resolviendo$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$pero obtengo una respuesta incorrecta:$$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$La respuesta correcta debería ser:$$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$Aquí está mi intento completo:$$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$¿Puedes corregirme y darme alguna fuente para aprender?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Tiene razón hasta el final (e incluyendo) el paso:

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Estás aplicando incorrectamente el hecho de que

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Fíjate que debe ser${1+x^2}$- no ${1+ax^2}$. En su lugar, debe hacer la sustitución${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$Llegar

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Según sea necesario.

Answer 2

Dado,$$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Lo sabemos,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Asi que,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$Aquí,$a=1$y$u=\frac{x}{\sqrt3}$y$du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

es decir,$dx={\sqrt3}du$

Así que nuestra respuesta deseada es,

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Reemplazando nuestra sustitución en los rendimientos integrales

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Así que ahora nos quedamos con

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Como esta es una integral indefinida, tenemos que escribir nuestra respuesta en términos de x. Mirando hacia atrás en nuestra sustitución y reordenando theta, llegamos a nuestra respuesta final:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Su problema radica en la igualdad final. Si$F(x)$es un primitivo de$f(x)$, y si$c\ne0$, entonces una primitiva de$f(cx)$estarán$\frac1cF(cx)$. Entonces, desde$\arctan(x)$es un primitivo de$\frac1{1+x^2}$, un primitivo de$\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$estarán$\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Sustituto$x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$