¿Dos versiones del teorema espectral?
Estoy estudiando el Teorema espectral (para operadores autoadjuntos limitados) por mí mismo y estoy siguiendo el buen libro de Nik Weaver . Permítanme presentar primero algunas notaciones.
Notaciones: Si$\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ es el (espacio de Banach) de todos los operadores lineales acotados $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Si$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\mbox{sp}(A)$ es el espectro de $A$.
Ahora deja $(X, \mathcal{F},\mu)$ ser un $\sigma$-Espacio de medida finita. Un paquete de Hilbert medible sobre$X$ es una unión disjunta: $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ dónde $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una partición medible de $X$ y, para cada $0 \le n \le \infty$, $\mathcal{H}_{n}$ es un espacio de Hilbert con dimensión $n$.
Finalmente, $f: X \to \mathcal{H}$ es débilmente medible si la función $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ es medible para cada $v \in \mathcal{H}$. Denotamos$L^{2}(X;\mathcal{H})$ el conjunto de todas las funciones débilmente mensurables $f: X \to \mathcal{H}$ tal que: $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$funciones de módulo que son cero en casi todas partes. Este es un espacio Hibert con producto interior:$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ Si $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$, $M_{f}$ es la multiplicación del operador por $f$. También,$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$.
Ahora, el enunciado del teorema espectral en esta referencia es el siguiente.
Teorema: Sea$\mathcal{B}(\mathcal{H})$ser autoadjunto. Luego sale una medida de probabilidad$\mu$ en $\mbox{sp}(A)$, un paquete de Hilbert medible $\mathcal{X}$ encima $\mbox{sp}(A)$ y un isomorfismo isométrico $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ tal que $A = UM_{x}U^{-1}$.
Sin embargo, estoy más interesado en otra versión de este teorema, que se establece en el libro de Dimock y dice (con notación adaptada)
Teorema: Sea$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ser autoadjunto. Entonces, existe un espacio de medida$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$, una función medible acotada $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ y un operador unitario $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ tal que $A = UM_{\tau}U^{-1}$.
Pregunta: ¿Cómo puedo obtener la versión de Dimock del Teorema espectral a partir de la versión de Weaver?
Respuestas
Dejar $\mathcal{M}$ ser una unión disjunta que consiste en $n$ Copias de $X_n$ para cada $n$. La medida dada en$\mbox{sp}(A)$ se limita a una medida sobre $X_n$ y así induce una medida en $\mathcal{M}$. Entonces hay un isomorfismo$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$: si elige una base ortonormal para cada $\mathcal{H}_n$, luego $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ es solo una suma directa de $n$ Copias de $L^2(X_n)$, y cuando tomas la suma directa de estos sobre todos $n$ usted obtiene $L^2(\mathcal{M})$. Este isomorfismo$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ convierte la multiplicación por $x$ en $\mbox{sp}(A)$ a la multiplicación por la función $\tau$ en $\mathcal{M}$ que viene dada por la función de inclusión $X_n\to\mathbb{R}$ en cada copia de cada $X_n$.
(Alternativamente, sin usar directamente la versión de Weaver, la versión de Dimock sigue usando la misma demostración que Weaver pero usando su Teorema 3.4.2 en lugar del Corolario 3.4.3. El propio Weaver comenta esto (ya que se aplica en el caso no separable como bien) en la parte superior de la página 62.)