Ecuación de Laplace de una esfera conductora cargada en un campo eléctrico uniforme externo

Question

Estoy tratando de resolver el problema 3.21 en Introducción a la electrodinámica, Griffiths, donde me preguntan:

Encuentre el potencial fuera de una esfera metálica cargada de carga Q y radio R, colocada en un campo eléctrico uniforme $\mathbf E_0$.

Orientemos nuestro sistema de coordenadas de manera que el campo eléctrico actúe a lo largo del eje z.

• BC 1: La esfera es conductora, así configurada $V(R, \theta)=0$.
• BC 2: Como $r \rightarrow \infty$, nos damos cuenta que $V \rightarrow -E_0r \cos \theta- \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$

Tenga en cuenta que la solución de la ecuación de Laplace en casos simétricos azimutales en coordenadas esféricas está dada por:

$$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$

Actualmente estoy atascado tratando de hacer que las dos condiciones de contorno funcionen juntas, todo lo que obtengo es una forma límite de lo que deberían ser los coeficientes, e incluso una incompatibilidad.

Aplicando BC 1: $$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{A_l( r^l-\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$

Pero claramente para significativamente grandes $r$, la $\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}}$ términos desaparecen, y ahora no podemos usar la parte de la segunda condición de límite que escala como $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$, lo cual no es una sorpresa, pero el problema es que la segunda condición de frontera es incompatible con la primera, debido a la $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ y $-E_0r \cos \theta$ términos que no se ajustan a la forma requerida cuando aplicamos por primera vez BC 1.

Por favor, ¿podría alguien aclarar el problema de esta incompatibilidad? (Aunque en realidad no soluciono el problema con un método diferente, estoy tratando de entender dónde me equivoqué con este método).

Answer 1

antes de Cristo $2$Está Mal. Para grande$r$, el campo debido al cargo $Q$ en la esfera es insignificante, y lo único que queda es el uniforme $\mathbf{E_0}$. Entonces, la condición en el infinito es en realidad$\mathbf{E}(r\rightarrow\infty,\theta)\rightarrow\mathbf{E_0}$. Traduzca esto al potencial. Pista: intenta imponer$V(r\rightarrow\infty,\theta)=-E_0r\cos\theta+C$ (no olvides la constante $C$) al resultado obtenido después de aplicar BC $1$. Verás que esto implica$A_{l\ge2}=0$y te permitirá determinar $A_1$.

Finalmente, el resultado dependerá de $A_0$ (equivalentemente $C$). Entonces necesitas un tercer BC, que es que la carga neta en la esfera es$Q$. Sugerencia: intente encontrar$\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}V$ y use la ley de Gauss para encontrar el vínculo entre $A_0$ y $Q$.