Ejemplo de inducción matemática
Actualmente estoy en inducción matemática y me he enfrentado a un problema que simplemente no sé por dónde empezar y no puedo encontrar ningún ejemplo con el que pueda continuar, así que solo para aclarar, le estoy preguntando por ejemplo con una solución. de tarea similar.
La tarea que debo resolver es: $$1053|3^{2n+2}*5^{2n}-3^{3n+2}*2^{2n}$$
Si posiblemente me das una solución a esto: $$3|(n^{3}-n)$$ ya que creo que este es más fácil de resolver
PD: No quiero que resuelvas mi problema, porque quiero intentar solucionarlo yo solo, solo quiero un ejemplo para ver cómo puedes solucionar este tipo de tareas. ¡Gracias!
Respuestas
Este siguiente problema es más similar a su $1053$ problema: muestra eso $5 \mid (3^{2n}-2^{2n})$.
El caso base es trivial.
Para el paso inductivo, asumimos que $5 \mid (3^{2k}-2^{2k})$ y tratar de demostrar que $5 \mid (3^{2(k+1)}-2^{2(k+1)})$.
Nosotros escribimos $3^{2k}-2^{2k}=5K$, entonces tenemos $3^{2k} = 5K+2^{2k}$. Ahora:
$$\begin{align}3^{2(k+1)}-2^{2(k+1)}&=9(5K+2^{2k})- 2^{2(k+1)}\\&=45K+9\cdot2^{2k}-4\cdot2^{2k}\\&=5(9K+2^{2k})\end{align}$$
que muestra nuestro resultado deseado.
Este es un método estándar para pruebas de inducción matemática de "tipo divisibilidad de potencias".
Utilizar esta: $$n^3-n=(n-1)n(n+1)$$ o (si quieres una prueba por inducción): $$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3-n+(3n^2+3n).$$
Sugerencia: para el paso inductivo, utilice $(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3 n ^2 + 3 n + 1 - n - 1 = (n^3 - n) + 3 (n^2 + n) $. ¿Qué puedes decir de cada uno de estos dos términos?