Ejercicio de Herstein: un subgrupo de un grupo finito G tal que $|G| \nmid i_G(H)!$ debe contener un subgrupo normal no trivial.

Aug 17 2020

Este es un problema 40 "más difícil" de Abstract Algebra (1996) de Herstein. Simplemente no puedo averiguar cómo hacer esto. aunque encontré una publicación muy similar . A continuación se presenta una declaración literal de la pregunta.

Si $G$ es un grupo finito, $H$ un subgrupo de $G$ tal que $n \nmid i_G(H)!$, dónde $n=|G|$, probar que existe un subgrupo normal $N \neq (e)$ de $G$ contenida en $H$.

PD: he estado atascado en esto durante aproximadamente una semana, y ahora estoy tirando la toalla, así que realmente agradecería una solución, pero le imploro humildemente que me dé pistas en su lugar para poder eliminar este problema ( más o menos) por mi cuenta, aunque, francamente, he perdido la esperanza.

Respuestas

3 DavidA.Craven Aug 17 2020 at 21:34

Suponer que $H$ tiene índice $n$ en $G$. La acción en las clases laterales (derecha, digamos) de$H$ induce un homomorfismo $\phi:G\to S_n$, y el núcleo de este mapa, el núcleo de$H$ en $G$, es el subgrupo normal más grande de $G$ contenida en $H$. Así, el núcleo no es trivial si y solo si el subgrupo$N$ lo que necesitas existe, así que deja $N$denotar este núcleo. Ya que$G/N$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Pero$|G|\nmid n!$, y por lo tanto $|N|>1$.