Ejercicio máximo (teoría de conjuntos).

Question

Dejar $A$ y $B$ ser conjuntos parcialmente ordenados, y dejar $f:A→B$Ser función estrictamente creciente. Demuestra que si$b$ es el elemento máximo de $B$ , luego cada uno de $f^*(b)$ es un elemento máximo de A.

Traté de razonar por el absurdo, asumí que $ f ^ * (b) $ no es un elemento máximo de $ A $, pero no puedo comparar un elemento de $ a $ con un subconjunto de $ A $, ya que $ f ^ * ( b) = f ^ {- 1} (\{b\}) $ ($ f ^ *(b)$ es un subconjunto de $ A $) No se como comparar $ f ^ * (b) $ con algún elemento de $ A $ para usar eso $ f $ esta incrementando.

Answer 1

"pero no puedo comparar un elemento de a con un subconjunto de A"

Sí tu puedes.

Porque un elemento de$a\in f^*(b)$puede ser un elemento representativo . Demuestra que si$a\in f^*(b)$ entonces $a$ debe ser máximo en $A$.... Como $a$ fue completamente arbitrario en $f^{*}(b)$debe ser cierto que todos los elementos de$f^*(b)$ son máximos.

Y sí, una prueba por contradicción es un excelente camino a seguir.

Asumir $a\in f^*(b)$ entonces $f(a) = b$. Y asumir$a$no es máxima en A. Así que hay una$c \in A$ de modo que $c > a$.

Entonces......

$f(c) > f(a)=b$ porque $f$esta incrementando. Entonces$f(c) > b$.

Answer 2

Tomar $x \in f^*(b)$. Si$x \leq y$, nuestro objetivo es demostrar que $x=y$. Aplicar$f$ Llegar $b \leq f(y)$. Ya que$b$ es máxima, $b =f(y)$. Ahora,$x\leq y$ significa que o $x<y$ o $x=y$. El primer caso es imposible, ya que$f$ser estrictamente creciente conduciría a$b<b$. Por lo tanto debe ser$x=y$.