El "efecto mariposa real"
Esta pregunta surge de la confusión que siento después de leer esta popular publicación de blog de Sabine Hossenfelder. Se basa en este documento que, lamentablemente, tiene un muro de pago.
El reclamo es el siguiente:
Más bien, como se presentó en su artículo de Tellus de 1969, Lorenz pretendía que la frase describiera la existencia de una barrera de predictibilidad absoluta en tiempo finito en ciertos sistemas de fluidos de múltiples escalas, lo que implica una ruptura de la dependencia continua de las condiciones iniciales para tiempos de entrega de pronóstico suficientemente grandes.
La ruptura de la continuidad me sorprendió por completo y, de hecho, aquí está mi borrador de la prueba de lo contrario:
- Considere el espacio vectorial lineal de funciones con soporte compacto sobre el espacio de fase, aumentado con el habitual $L_2$ norma.
- Defina la acción del hamiltoniano (clásico) sobre las funciones mediante $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Observe que con esta definición, el operador es autoadjunto (se puede probar mediante un argumento que involucra integración por partes).
- Según el teorema de Stone , debe haber un grupo 1-paramétrico fuertemente continuo de traslaciones de tiempo, por lo que la ruptura de la dependencia continua de las condiciones iniciales es imposible.
Dado que mi conclusión aparentemente contradice la conclusión del resumen de Palmer et al., Me gustaría saber qué es exactamente lo que sale mal que puede conducir a una barrera de predictibilidad en tiempo finito en sistemas que exhiben el "efecto mariposa real".
Actualización: un argumento mucho más simple de un amigo mío: tome$U(T/2)$ (operador de evolución asociado al intervalo de tiempo $T/2$ dónde $T > 0$es la supuesta barrera de la previsibilidad). Por construcción es continuo, como$T / 2 < T$. Por lo tanto,$U(T/2)^4 = U(2T)$también es continuo. Esto nos permite ver un futuro más distante que la barrera con un operador continuo, lo que está en contradicción con el supuesto original. Concluimos que$T$ debe ser infinito o cero.
Respuestas
Hay algunos problemas con la publicación en el sitio web. No puedo entender cómo pasar las ecuaciones de Navier-Stokes , que son PDE , a algún sistema de EDO (¿ecuaciones de Lorenz?) Que parecen ser el tema de la discusión (también mirando la formulación de la pregunta por el profesor Legolasov). Lamentablemente no tengo acceso al periódico.
Desde un punto de vista matemático puro, todo está claro, por lo que el problema debe tener que ver con el modelado físico : debería producirse algún desglose de la descripción matemática en algún nivel por razones físicas, pero sin leer el artículo es difícil discutirlo.
A continuación se ofrece una breve descripción del escenario matemático con respecto a la dependencia de los datos iniciales.
Todo sistema EDO (autónomo) como el de Lorenz se puede escribir como$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ dónde $x\in M$, $M$ siendo algunos $C^k$ colector y $F$ un $C^k$ campo de vector en $M$ con $k\geq 1$.
Ahora bien, es un resultado estándar de la teoría ODE que, si $x=x(t|x_0)$ es la solución máxima de (1) con condición inicial $x(0)= x_0\in M$, así definido en un intervalo abierto $I_{x_0}\ni 0$, luego
(1) el conjunto $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ está abierto en $\mathbb{R}\times M$
(2) el mapa $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ es conjuntamente $C^k$ (y $C^{k+1}$ en la variable $t$).
Por tanto, en el dominio completo de la solución hay una $C^k$(por tanto, continua) dependencia de los datos iniciales. En particular, al arreglar algunos$T$, el mapa $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ dónde $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$, es necesariamente continuo.
Si en cambio se trata de PDE adecuadas, ecuaciones de Navier-Stokes precisamente, las cosas son mucho más delicadas y, como es bien sabido. Solo la prueba de un teorema de existencia y unicidad para datos iniciales dados (que ahora son funciones) es problemática. La dependencia continua de la fecha inicial es aún más problemática.
En cuanto a la sugerencia del profesor Legolasov, tengo algunos problemas con ella.
(a) ¿Nos referimos al sistema ODE de Lorenz? Eso no es hamiltoniano ya que la variedad tiene una dimensión impar, entonces, ¿qué es$H$?
(b) ¿Estamos usando en cambio alguna estructura de Poisson no simpléctica?
(c) A continuación, incluso refiriéndose a $L^2(M)$ (¿qué medida?) sobre un colector de Poisson $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ es simétrico por ejemplo en $\mathbb{R}^{2n}$refiriéndose a la estructura euclidiana natural y la estructura simpléctica estándar en coordenadas cartesianas ortonormales, pero no es necesariamente esencialmente autoadjunta (esencialmente autoadjunta de PDE en variedades de Riemann es un tema delicado y los resultados generales son conocidos para operadores elípticos y$-i\{H, \cdot\}$ no es elíptica en general [¿qué métrica de Riemann en general cuando estamos dotados de una estructura de Poisson solamente?]).
(d) Finalmente, incluso si producimos un grupo unitario fuertemente continuo generado por alguna extensión autoadjunta de $-i\{H, \cdot\}$, No puedo ver la relación con la dependencia continua de los datos iniciales de la EDO asociada a $H$.
Esto es lo que probablemente falte.
Ese límite de previsibilidad requería la existencia de un mecanismo de retroalimentación que opera durante cada paso de tiempo en la simulación. La retroalimentación amplifica acumulativamente la sensibilidad a las condiciones iniciales y magnifica los efectos de los errores de redondeo y discretización en los algoritmos y, por lo tanto, hace que el sistema se vuelva divergente después de un cierto número de iteraciones. Este efecto no se ve si la ruta de retroalimentación está rota.