¿El número de hebras de nudos es invariante?

Dec 30 2020

Pregunta: ¿Depende el número de componentes en un nudo de la incrustación plana particular?

  • He estado investigando cómo calcular el número de componentes ("hebras separadas") en un nudo celta basado en la estructura del gráfico plano subyacente. (Vea la relación entre nudos / enlaces y gráficos planos aquí ).

  • Aparentemente, el cálculo de gráficos generales es un poco complicado; Por ejemplo, la referencia en esta pregunta señala que para un uniforme$m\times n$ cuadrícula de cuadrados, el número de componentes es $\mathrm{lcd}(m,n)$.

  • Me satisfaría encontrar una fórmula para calcular el número de componentes ("hebras"), o una relación entre la cantidad de hebras y varias propiedades gráficas como su grado, espectro, etc., incluso si esas propiedades fueran difíciles de calcular .

  • Un enfoque que he adoptado es en términos de componentes conectados: cada hebra separada sigue una trayectoria particular, y los componentes conectados de esas trayectorias corresponden exactamente a las hebras. Puede definir la trayectoria como un mapeo de función de transición (alguna estructura adicional más) cada borde a su sucesor; esta es una permutación en bordes (estructurados) cuyos ciclos son los componentes.

  • La función de transición se puede codificar como su propio gráfico derivado y dirigido (similar a un mapa codificado por gráfico ), cuyos componentes conectados son los componentes del nudo. A partir del álgebra lineal, sabemos que el número de componentes conectados se puede recuperar como la multiplicidad del autovalor cero del Laplaciano de la matriz de adyacencia.

Sin embargo, sé que el mismo gráfico $G$puede tener múltiples incrustaciones planas no isomórficas (es decir, cuyos duales no son isomórficos). Hasta ahora, en mi experiencia, esto ha cambiado algunas de las propiedades de los nudos (como el número de giros en cada componente) pero no el número de componentes:

Mi pregunta es esta:

Pregunta: ¿Depende el número de componentes de un nudo de la incrustación plana particular? ¿Cómo lo probamos?

Mi intuición dice que el número de componentes es invariante, pero no he podido producir un contraejemplo o una prueba usando mi enfoque anterior.


Conjetura: Si $G$ es un gráfico, entonces el nudo correspondiente tiene $c$ componentes, donde

$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$

y $T_G$ es el polinomio de Tutte, y $|E(G)|$es el número de aristas del gráfico. (?)

Respuestas

2 AdamLowrance Jan 01 2021 at 09:04

Dejar $D$ser el diagrama de un enlace. Por ejemplo,$D$podría ser el diagrama del nudo celta o el enlace que se muestra en tu publicación. Dejar$G$ ser el gráfico de tablero de ajedrez de $D$. La gráfica$G$ es el gráfico descrito en su primera viñeta.

Respuesta: El número de componentes de$D$ está determinado por el gráfico abstracto $G$ y no depende de como $G$ está incrustado en el avión.

Hasta donde yo sé, esto fue probado por primera vez por Michel Las Vergnas en 1979. Demostró que el número de componentes de $D$ está determinada por la evaluación polinomial de Tutte $T_G(-1,-1)$. Dado que el polinomio de Tutte no depende de una incrustación particular de$G$, el resultado sigue. La referencia para este documento es

  • Las Vergnas, Michel. Sobre particiones eulerianas de gráficos . Teoría de grafos y combinatoria (Proc. Conf., Open Univ., Milton Keynes, 1978), págs. 62-75, Res. Notes in Math., 34, Pitman, Boston, Mass.-Londres, 1979.

No pude encontrar fácilmente una copia del documento anterior, así que aquí hay otra forma de obtener la solución, gracias a Dan Silver y Susan Williams ( enlace arXiv ). Definen una matriz$Q_2(G)$ cuyas entradas están en el campo con dos elementos $\mathbb{F}_2$como sigue. Tanto las filas como las columnas de la matriz están indexadas por los vértices$v_1,\dots,v_n$ de $G$. Si$i\neq j$, entonces el $ij$ entrada de $Q_2(G)$ es el número de aristas entre vértices $v_i$ y $v_j$ (tomado$\mod 2$). los$ii$ entrada de $Q_2(G)$ es la suma de las otras entradas en la fila $i$ (nuevamente tomado$\mod 2$). De manera equivalente, podríamos decir que$ii$ entrada en $Q_2(G)$ es la suma de las otras entradas en la columna $i$.

En el teorema 1.1 del artículo vinculado, prueban que el número de componentes de $D$ es igual a la nulidad de $Q_2(G)$. Señalan en la Observación 1.2 que esto implica el número de componentes de$D$ es independiente del plano de inserción de $G$.

Editar: No tengo acceso al artículo de Las Vergnas, pero puedo dar otra explicación del resultado usando el polinomio de Tutte y el polinomio de Jones.

Dejar $L$ ser un enlace alterno, dejemos $D$ ser un diagrama alterno del enlace, y dejar $G$ ser el gráfico de tablero de ajedrez de $D$. Entonces el polinomio de Tutte$T_G(x,y)$ de $G$ y el polinomio de Jones $V_L(t)$ de $L$ están relacionados de la siguiente manera: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ para la función $f_D(T)$ definido por $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ dónde $w(D)$ es el retorcimiento de $D$, $|E|$ es el número de aristas en $G$y $|V|$ es el número de vértices de $D$. Darse cuenta de$|f_D(1)|=1$, y por lo tanto $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.

El polinomio de Jones satisface la relación de madeja $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ dónde $L_+,L_-,$ y $L_0$ son los siguientes.

Ajuste $t=1$ en la relación de madeja anterior produce $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. En otras palabras, el polinomio de Jones evaluado en$t=1$ no cambia con cambios cruzados, y por lo tanto $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ dónde $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ es el enlace trivial con el mismo número de componentes que $L$. El polinomio de Jones de$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ es $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ dónde $m$ es el número de componentes de $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. Así$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$

El caso anterior se maneja cuando $L$está alternando. Si$L$es no alternante, proceda de la siguiente manera. Dejar$D$ ser cualquier diagrama de $L$. Definir$D_{\text{alt}}$ ser un diagrama con la misma sombra que $D$ pero cuyos cruces se cambian para ser alternos, y definen $L_{\text{alt}}$ ser el enlace cuyo diagrama es $D_{\text{alt}}$. Tenga en cuenta que$D$ y $D_{\text{alt}}$ tienen el mismo gráfico de tablero de ajedrez $G$. El argumento anterior implica que$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ dónde $m$ es el número de componentes de $L_{\text{alt}}$. Ya que$L_{\text{alt}}$ y $L$ tienen el mismo número de componentes, el resultado sigue para $L$ también.