El "último de los ases"

Question

Tienes una baraja de 52 cartas completamente barajada. Cada vez que elija una carta de la baraja. La carta robada se vuelve a colocar en la baraja y las 52 cartas se barajan de nuevo. Continúa este procedimiento hasta que hayas visto los cuatro ases diferentes. ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de la cantidad de veces que tienes que sacar una carta hasta que hayas visto los cuatro ases diferentes?

Claramente, el problema es que puedo sacar el mismo as una y otra vez, por lo que debería contar el número de cartas que saco entre los $k-1$el éxito y el $k$el éxito (es decir, por ejemplo, las cartas robadas entre el tercer y el cuarto as, cada una diferente de la otra). Pero el hecho de que los ases deben ser diferentes ligados al hecho de que una vez sacado un as, este as se vuelve a poner en el mazo implica que una vez que saco el tercer as, el "juego" comienza desde cero, así que tengo que calcular el número de intentos. (cartas robadas) necesarias para tener el primer éxito (es decir, decir el cuarto y el último as aún no visto).

Así que si $X_i=[$# cartas dibujadas antes del $i$el ace$]$, tenemos eso $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

¿Cómo puedo usar esto para resolver el problema? Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejar $X$ denotar la variable aleatoria que denota el número de ensayos para obtener $4$ases. Podemos dividir$X$ dentro $4$ variables aleatorias separadas, que llamaremos $X_1$ (el número de intentos para sacar el primer as), $X_2$ (el número de intentos para sacar el segundo as después de sacar el primero), $X_3$ (el número de intentos para sacar el tercer as después de sacar el segundo) y $X_4$(el número de intentos para sacar el cuarto as después de sacar el tercero). La distribución de probabilidad de las variables es la distribución geométrica. Para una distribución geométrica, tenemos$E[Y]=\frac1p$ y $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

La posibilidad de sacar nuestro primer as en una prueba es $\frac4{52}=\frac1{13}$ entonces $E[X_1]=13$ y $\text{Var}(X_1)=156$. La posibilidad de sacar nuestro tercer as en una prueba es$\frac3{52}$ entonces $E[X_2]=\frac{52}3$ y $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. La posibilidad de sacar nuestro tercer as en una prueba es$\frac2{52}=\frac1{26}$ entonces $E[X_3]=26$ y $\text{Var}(X_3)=650$. La posibilidad de sacar nuestro tercer as en una prueba es$\frac1{52}$ entonces $E[X_3]=52$ y $\text{Var}(X_4)=2652$.

Porque $X_1$, $X_2$, $X_3$ y $X_4$ son independientes, podemos agregar directamente los valores esperados y las varianzas para obtener el valor esperado y la varianza de $X$. Tenemos

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

y

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Para encontrar la desviación estándar tomamos la raíz cuadrada de la varianza, es decir:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$