El último teorema de Fermat $\pm1$

Nov 27 2020

Estoy planeando un desafío en Code Golf.SE sobre enteros$a, b, c \ge 0$ tal que

$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$

para un entero dado $n > 2$. Sin embargo, estoy interesado en saber si existen soluciones no triviales a esto para un determinado$n$. Aquí, estoy definiendo las soluciones "no triviales" como triples$a, b, c$ los tres son únicos y distintos de cero (es decir, para evitar $(a, 1, a)$ y $(a, 0, a)$y triples relacionados).

Encontré esta pregunta que hace una pregunta relacionada (y más amplia) sobre la existencia de tales triples, y la respuesta aceptada dice

Creo que si $n\ge5$ (y asumiendo la conjetura ABCD), entonces para cualquier $k$, la ecuacion $$ a^n + b^n - c^n = k $$ tiene solo un número finito de soluciones $a,b,c\in\mathbb{Z}$ con $|a|,|b|,|c|$ distinto y distinto de cero.

Sin embargo, esto no indica completamente si hay un número distinto de cero de soluciones distintas distintas de cero.

Este es un programa que intenta encontrar tales triples, con$0 \le a, b, c \le 100$, dada una entrada $n$, pero hasta ahora no ha encontrado ninguno para $n = 4$ o $n = 5$, y se agota si aumenta el límite superior en una cantidad significativa.

Por tanto, mi pregunta es:

  • ¿Puede demostrarse que, para todos los enteros $n > 2$, la ecuacion $a^n + b^n = c^n \pm 1$ tiene al menos 1 solución no trivial, para $a, b, c \ge 0$?
  • Si no es así, ¿ampliar el rango para $a, b, c$ a $\mathbb{Z}$ afectar o cambiar esto?

Respuestas

14 RobertIsrael Nov 27 2020 at 02:46

[EDITADO] Es probable que no haya ninguna solución para $n \ge 4$. Para$n \ge 5$una solución sería un contraejemplo de la conjetura de Lander, Parkin y Selfridge . El mejor "casi accidente" de FLT que conozco es$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$.

5 Zhi-WeiSun Nov 29 2020 at 07:03

En un mensaje " Una conjetura relacionada con el último teorema de Fermat " enviado a la Lista de teoría de números el 26 de septiembre de 2015, escribí lo siguiente:

En 1936, K. Mahler descubrió que $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ Claramente, $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ y $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$

Aquí presento mi siguiente conjetura, que puede verse como un refinamiento adicional del último teorema de Fermat.

CONJECTURE (24-25 de septiembre de 2015). (i) Para cualquier número entero$n > 3$ y $x,y,z > 0$ con $\{x,y\}\not= \{1,z\}$, tenemos $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$

a no ser que $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ y $z = 17$.

(ii) Para cualquier número entero $n > 3$ y $x,y,z > 0$ con $z\not\in\{x,y\}$, hay un primo $p$ con $$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$

a no ser que $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ y $z = 17$.

(iii) Para cualquier número entero $n > 3$, $x > y \ge0$ y $z > 0$ con $x\not=z$, siempre existe un primo $p$ con
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$

He comprobado esta nueva conjetura a través de Mathematica. Por ejemplo, he verificado la parte (i) de la conjetura para$n = 4,\ldots,10$ y $x,y,z=1,\ldots,1700$.