Encontrar el máximo de $x+y+z$ [cerrado]
Si números positivos $x, y$ y $z$ satisfacer eso $xyz=1$, ¿cuál es el valor mínimo para $x+y+z$?
De $xyz=1$, nosotros podemos obtener $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$
Sustituirlos en $x+y+z=1$ y tengo$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$
Dado que estamos encontrando el mínimo para $x+y+z$, Pensé en usar la fórmula $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ debido al hecho de que tenemos el valor de $xy+yz+xz$.
Eso es todo lo que tengo hasta ahora. ¿Cómo puedo continuar?
Respuestas
Utilice la desigualdad AM-GM,
$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$
$$x+y+z \ge 3$$
El mínimo es $3$ y no hay máximo.
Por geometría:
La superficie de la ecuación $xyz=1$(no sé su nombre) es un cubo con una forma "hiperbólica", ya que cualquier sección transversal por un plano de una coordenada constante es una hipérbola. Tiene una simetría de orden$3$ alrededor del eje $x=y=z$, y está abierto hacia el infinito.
Las secciones por el avión $x+y+z=c$ son curvas cerradas, a partir de $c=3$ y agrandando monótona e ilimitadamente.
El mínimo es $c=3$ y no hay máximo.