Encontrar el rastro de un sistema de forma explícita
Considere que estamos trabajando con un sistema conjunto compuesto por el sistema A con base $|\alpha_j\rangle$ y sistema B con base $|\beta_j\rangle$.
En mis notas, el operador de densidad se denota de la siguiente manera:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
donde mis notas dicen que $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
También establecen las siguientes ecuaciones para la traza de A y la traza de B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
Mi pregunta principal es ¿cómo escribiría uno $\rho_{j,l,k,l}$ y $\rho_{j,l,j,m}$ explícitamente, ya que lo que obtengo no parece estar de acuerdo con un ejemplo trabajado en mi libro, por lo que estoy bastante confundido.
Gracias
Respuestas
Bueno, porque si lo hiciera yo mismo, lo escribiría de la siguiente manera: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Sin embargo, no estoy seguro porque los ejemplos resueltos que he visto sugieren lo siguiente $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
Parece que está malinterpretando la idea de un producto tensorial de estados, así que lo revisaré brevemente. Dejar$\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ ser espacios de Hilbert, y dejar $\alpha \in \mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$. El producto tensorial de$\alpha$ y $\beta$ es el par ordenado $(\alpha,\beta)$ que tiene las siguientes propiedades:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ para todos $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ para todos $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ para todos $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
En lugar de escribir $(\alpha,\beta)$ para el producto tensorial, es una notación estándar escribir $\alpha \otimes \beta$.
El producto tensorial de los espacios de Hilbert $\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ es el espacio de todos los productos tensoriales de la forma $\alpha\otimes \beta$ con $\alpha\in\mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$, Y todas las combinaciones lineales de los mismos . El producto interior de este espacio se considera
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Por tanto, un elemento $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ podría verse como
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
De la definición se desprende claramente que $\alpha$ y $\gamma$ pertenece a $\mathcal H_A$ mientras $\beta$ y $\delta$ pertenece a $\mathcal H_B$. Nuevamente por convención estándar, reutilizamos el símbolo$\otimes$ y denotar el producto tensorial de los espacios de Hilbert por $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Si desea trabajar con la notación de Dirac, puede escribir algo como $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. El sujetador correspondiente sería$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Si dejamos$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, luego
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
La convención es que, ya sea que se trate de un sujetador o un sujetador, la primera cantidad en el producto tensor pertenece a $\mathcal H_A$ (o su espacio dual) y el segundo pertenece a $\mathcal H_B$ (o su espacio dual).
Con todo lo dicho, tu expresión
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
no tiene sentido para mí, porque el producto tensorial de la derecha está en el orden incorrecto.
En primer lugar, debe tenerse en cuenta que su forma de entender $\rho_{ijk\ell}$es ante todo una cuestión de convención. Dicho esto, algunas convenciones son ciertamente más "naturales" que otras.
Una forma de pensarlo es que los componentes matriciales de $\rho$ en un espacio compuesto $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$no son más que eso: componentes de la matriz en algún espacio. Si usa los índices$I,J$ etiquetar los elementos de una base de $\mathcal H$, puede escribir los componentes de la matriz como $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Sin embargo, esta notación no tiene en cuenta la estructura bipartita de $\mathcal H$. Para hacer esto, observamos que siempre podemos encontrar una base de$\mathcal H$ que se construye a partir de bases de $\mathcal X$ y $\mathcal Y$. Por tanto, podemos etiquetar los elementos básicos de$\mathcal H$utilizando dos índices, que denotan los elementos de base correspondientes de$\mathcal X$ y $\mathcal Y$. En otras palabras, podemos escribir$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Entonces, en lugar de un índice $I$, usamos un par de índices, digamos $(i,j)$. Los elementos de la matriz de$\rho$ entonces conviértete $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$donde incluyo diferentes formas equivalentes de escribir la expresión. Tenga en cuenta que escribí los índices de "entrada" y "salida" de$\rho$ usando pares $(i,j)$ y $(k,\ell)$aquí, para enfatizar los diferentes roles que tienen los índices. Por brevedad, uno no suele hacer esto y simplemente escribe$\rho_{ijk\ell}$ significar $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
Ahora, también puede decidir usar $\rho_{ijk\ell}$ para significar algo como $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Sin embargo, esa sería una notación bastante incómoda.