Encontrar el rastro de un sistema de forma explícita

Nov 29 2020

Considere que estamos trabajando con un sistema conjunto compuesto por el sistema A con base $|\alpha_j\rangle$ y sistema B con base $|\beta_j\rangle$.

En mis notas, el operador de densidad se denota de la siguiente manera:

$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

donde mis notas dicen que $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$

También establecen las siguientes ecuaciones para la traza de A y la traza de B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$

$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$

Mi pregunta principal es ¿cómo escribiría uno $\rho_{j,l,k,l}$ y $\rho_{j,l,j,m}$ explícitamente, ya que lo que obtengo no parece estar de acuerdo con un ejemplo trabajado en mi libro, por lo que estoy bastante confundido.

Gracias

Respuestas

2 J.Murray Nov 29 2020 at 22:46

Bueno, porque si lo hiciera yo mismo, lo escribiría de la siguiente manera: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Sin embargo, no estoy seguro porque los ejemplos resueltos que he visto sugieren lo siguiente $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.

Parece que está malinterpretando la idea de un producto tensorial de estados, así que lo revisaré brevemente. Dejar$\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ ser espacios de Hilbert, y dejar $\alpha \in \mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$. El producto tensorial de$\alpha$ y $\beta$ es el par ordenado $(\alpha,\beta)$ que tiene las siguientes propiedades:

  • $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ para todos $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
  • $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ para todos $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
  • $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ para todos $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$

En lugar de escribir $(\alpha,\beta)$ para el producto tensorial, es una notación estándar escribir $\alpha \otimes \beta$.


El producto tensorial de los espacios de Hilbert $\mathcal H_A$ y $\mathcal H_B$ es el espacio de todos los productos tensoriales de la forma $\alpha\otimes \beta$ con $\alpha\in\mathcal H_A$ y $\beta \in \mathcal H_B$, Y todas las combinaciones lineales de los mismos . El producto interior de este espacio se considera

$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$

Por tanto, un elemento $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ podría verse como

$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$

De la definición se desprende claramente que $\alpha$ y $\gamma$ pertenece a $\mathcal H_A$ mientras $\beta$ y $\delta$ pertenece a $\mathcal H_B$. Nuevamente por convención estándar, reutilizamos el símbolo$\otimes$ y denotar el producto tensorial de los espacios de Hilbert por $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.


Si desea trabajar con la notación de Dirac, puede escribir algo como $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. El sujetador correspondiente sería$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Si dejamos$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, luego

$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$

La convención es que, ya sea que se trate de un sujetador o un sujetador, la primera cantidad en el producto tensor pertenece a $\mathcal H_A$ (o su espacio dual) y el segundo pertenece a $\mathcal H_B$ (o su espacio dual).


Con todo lo dicho, tu expresión

$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$

no tiene sentido para mí, porque el producto tensorial de la derecha está en el orden incorrecto.

1 glS Nov 30 2020 at 17:41

En primer lugar, debe tenerse en cuenta que su forma de entender $\rho_{ijk\ell}$es ante todo una cuestión de convención. Dicho esto, algunas convenciones son ciertamente más "naturales" que otras.

Una forma de pensarlo es que los componentes matriciales de $\rho$ en un espacio compuesto $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$no son más que eso: componentes de la matriz en algún espacio. Si usa los índices$I,J$ etiquetar los elementos de una base de $\mathcal H$, puede escribir los componentes de la matriz como $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Sin embargo, esta notación no tiene en cuenta la estructura bipartita de $\mathcal H$. Para hacer esto, observamos que siempre podemos encontrar una base de$\mathcal H$ que se construye a partir de bases de $\mathcal X$ y $\mathcal Y$. Por tanto, podemos etiquetar los elementos básicos de$\mathcal H$utilizando dos índices, que denotan los elementos de base correspondientes de$\mathcal X$ y $\mathcal Y$. En otras palabras, podemos escribir$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Entonces, en lugar de un índice $I$, usamos un par de índices, digamos $(i,j)$. Los elementos de la matriz de$\rho$ entonces conviértete $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$donde incluyo diferentes formas equivalentes de escribir la expresión. Tenga en cuenta que escribí los índices de "entrada" y "salida" de$\rho$ usando pares $(i,j)$ y $(k,\ell)$aquí, para enfatizar los diferentes roles que tienen los índices. Por brevedad, uno no suele hacer esto y simplemente escribe$\rho_{ijk\ell}$ significar $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.

Ahora, también puede decidir usar $\rho_{ijk\ell}$ para significar algo como $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Sin embargo, esa sería una notación bastante incómoda.