Encuentra el ángulo entre dos tangentes dibujadas desde el punto $(0, -2)$ a la curva $y=x^2$
Encuentra el ángulo entre las dos tangentes dibujadas desde el punto $(0, -2)$ a la curva $y=x^2$.
Este es mi intento:
dejar$P(\alpha, \beta)$ ser un punto en la curva. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Ecuación de la tangente en P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ debería satificar esta ecuación. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Ahora poniendo estos valores para encontrar la pendiente$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Lo sabemos por $\theta$= ángulo entre las líneas y $m_1\quad\&\quad m_2$ ser pendiente de rectas: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$
Mi respuesta no coincide con el libro. El libro es muy apreciado, por lo que no puede estar equivocado. No puedo encontrar un error en mi solución. El libro dice la respuesta como$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$
Editar: el libro en realidad dice su respuesta como$\pi - 2\arctan\sqrt8$. Yo era el ciego que no podía ver el 2 .
Respuestas
Creo que hay dos errores en tu libro.
En primer lugar, $\theta$ debería ser un ángulo agudo porque decimos sobre el ángulo entre tangentes y no sobre segmentos de tangentes, pero $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$
Además, tu respuesta $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ es cierto e incluso $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.
Después de su reparación, tenemos que demostrar que $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ que es cierto porque $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$
Como ya ha derivado, el $x$-los valores de los dos puntos de la curva son $-\sqrt2$ y $\sqrt2$ (con un respectivo $y$-valor de $2$).
Echemos un vistazo a la "tangente derecha" $\big($a $(+\sqrt2,2)$$\ grande) $ . Como la pendiente de la tangente es $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , el ángulo entre el eje $ x $ y esta tangente es $ \ arctan \ sqrt8 $ . Por lo tanto, el ángulo entre esa tangente y el eje $ y $ es $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Finalmente, el doble de este ángulo es el ángulo entre las dos tangentes, que de hecho es $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .