Encuentre al menos una solución del sistema de ecuaciones con restricciones

Question

Considere el sistema de ecuaciones con restricciones$$ \begin{cases} x+y+z+t+u+v=3(a+b), \\ x+y+2(z+t)+3u=6b\\ 0 \leq x,y,z,t,u,v \leq 1, \end{cases} $$aquí$0 \leq a,b \leq 1$son parámetros fijos.

Necesito encontrar al menos una solución no trivial de la ecuación. Bajo no trivial me refiero a una solución que es diferente de$0$y$1$, sería muy preferible para casi todos$a,b.$Mejor si las soluciones se expresaran en términos de$a,b$. Si no, entonces debe haber un algoritmo para calcularlo.

Mi intento. Traté el problema como un problema de optimización e intenté usar el método simplex. Desafortunadamente, muy a menudo obtengo una solución con muchos ceros y unos. por ejemplo si$a=0.22, b=0.34$yo obtengo$$ t= 0.52,u= 0.0,v= 0.16,x= 1.0,y= 0.0,z= 0.0$$y no es tan bueno.

¿Algunas ideas?

Answer 1

Sumando y restando, obtenemos que el conjunto de todas las soluciones es:

$y=6a+u-2v-x$y$z=-3a+3b-t-2u+v$.

Entonces, por ejemplo, establecer$a=\frac{1}{2}, u=\frac{1}{6}, v=\frac{6}{7},x=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{2}$y$b=\frac{2}{3}$da$y=\frac{20}{21}$y$z=\frac{11}{21}$.