Encuentre la CDF de$Y=X+|X-a|$dónde$X\sim\text{unif}[0,b], b>a>0$
Dado$X\sim\text{unif}[0,b]$, necesito encontrar la siguiente probabilidad:
$$F(y)\triangleq\mathbb{P}(Y\leq y)$$
Para todos$y\in\mathbb{R}$, dónde$Y=X+|X-a|$y$b>a>0$se dan constantes positivas.
Mi intento : Está claro que$Y\in[a,2b-a]$, por lo tanto$F(y)=0$para todos$y<a$y$F(y)=1$para todos$y\geq2b-a$. ahora solo falta calcular$F(y)$por$y\in[a,2b-a)$:
$$F(y)=\mathbb{P}(X+|X-a|\leq y)= \\=\mathbb{P}(2X-a\leq y \mid X<a)\mathbb{P}(X<a)+\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\mathbb{P}(X>a) = \\ =\frac ab\mathbb{P}(X\leq \frac{y+a}{2} \mid X<a)+\frac{b-a}{b}\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\triangleq\frac ab P_1+\frac{b-a}{b} P_2$$
Lo imaginé$[X|X<a]\sim\text{unif}[a,b]$, por lo tanto:
$$P_1=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{\frac{y+a}{2}}\text{d}x=\frac 12 \frac{y-a}{b-a}$$
Usé el hecho de que$(y+a)/2<b$desde que asumí$y<2b-a$. Ahora aquí está mi problema: no tengo idea de cómo trabajar con$P_2$. Mi conjetura fue que$P_2=1$mientras$y\geq a$(y esto concuerda exactamente con mi suposición de que$y\in[a,2b-a)$), pero en ese caso:
$$F(y)=\frac{a}{2b} \frac{y-a}{b-a}+\frac{b-a}{b}$$
Esto no tiene sentido para mí. He aquí un ejemplo de por qué: Si mis cálculos fueran ciertos, entonces$F(a)=(b-a)/b$, pero en realidad:
$$F(a)=\mathbb{P}(Y\leq a)=\mathbb{P}(Y=a)+\mathbb{P}(Y<a)=\mathbb{P}(Y=a)=\mathbb{P}(X\leq a)=a/b$$
($\mathbb{P}(Y<a)=0$ya que$Y\geq a)$
¡Gracias!
Respuestas
Tienes algunos casos invertidos. Si$X < a$, después$|X - a| = a - X$, por eso$Y = a$para este caso. Nota
$$Y = \begin{cases} a, & X \in [0,a] \\ 2X - a, & X \in (a, 1]. \end{cases}$$
Por lo tanto,$$\Pr[Y \le y] = \Pr[a \le y \mid X \le a]\Pr[X \le a] + \Pr[2X - a \le y \mid X > a]\Pr[X > a].$$Entonces desde$$\Pr[a \le y \mid X \le a] = \mathbb 1(y \ge a) = \begin{cases} 0, & y < a, \\ 1, & y \ge a, \end{cases}$$y$$\Pr[X \le \tfrac{a+y}{2} \mid X > a] = \frac{\frac{a+y}{2} - a}{b-a} \mathbb 1(y \ge a) = \frac{y-a}{2(b-a)} \mathbb 1(y \ge a)$$obtenemos$$\Pr[Y \le y] = \mathbb 1 (y \ge a)\left( \frac{a}{b} + \frac{y-a}{2(b-a)}\frac{b-a}{b}\right) = \frac{a+y}{2b} \mathbb 1(y \ge a)$$que después de corregir los límites finitos en$X$, da$$\Pr[Y \le y] = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{a+y}{2b}, & a \le y \le 2b-a \\ 1, & y > 2b-a. \end{cases}$$