Energía extra en sistemas de doble masa-resorte

Question

A continuación se muestra un sistema de resorte de doble masa colocado sobre una superficie lisa (sin fricción), supongamos que la constante del resorte es$k$en este caso.

Ahora bien, si creamos una pequeña extensión en la primavera de valor$x_o$, las dos masas realizarán un movimiento armónico simple (MAS) individualmente con amplitudes$A_1$y$A_2$respectivamente tal que$A_1$+$A_2$=$x_o$. Ahora la energía total de dicho sistema está dada por$\frac{1}{2}kx_o^2$y las energías de sus oscilaciones individuales serían$\frac{1}{2}kA_1^2$y$\frac{1}{2}kA_2^2$. Pero$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Entonces, ¿para qué se utiliza esta energía extra? Claramente, no se está utilizando para SHM ya que no está bajo la energía de las oscilaciones individuales de las masas. ¡Así que no puedo decir para qué se está utilizando!

Tengo otra pregunta también. Sus energías cinéticas máximas individuales están relacionadas de la siguiente manera:$\frac{1}{2}mv_1^2$+$\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, dónde$v_1$y$v_2$son las velocidades máximas de las masas individuales. ¡Pero la energía cinética máxima de un cuerpo que realiza MAS debe ser igual a su energía potencial máxima! Asi que$\frac{1}{2}kA_1^2$debe ser igual a$\frac{1}{2}mv_1^2$y de manera similar$\frac{1}{2}kA_2^2$debe ser igual a$\frac{1}{2}Mv_2^2$. Pero esto iría en contra de nuestra ecuación de que$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! ¡Así que estoy bastante confundido acerca de lo que está sucediendo aquí!

Entonces, ¿alguien puede explicarme esto?

Answer 1

Debe analizar ambas masas juntas como un solo sistema SHM; no puede dividirlas en dos componentes SHM independientes.

Supongamos que comenzamos con el resorte en su longitud natural y movemos la masa$m$a la izquierda por una distancia$x_1$y masa$M$a la derecha por una distancia$x_2$. La fuerza que el resorte ejerce sobre ambas masas es ahora$k(x_1+x_2)$. Así que si movemos masa$m$de$x_1=0$a$x_1=A_1$y movemos masa$M$de$x_2=0$a$x_2=A_2$entonces la energía total almacenada en el resorte es

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

dónde$y=x_1+x_2$, y

$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

por lo que no hay "energía extra".

Cuando soltamos las masas la ecuación de movimiento de masa$m$es

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

y para masa$M$es

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

Sumando estos juntos obtenemos

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

dónde$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, y$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Asi que

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Similarmente

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Cuando el resorte vuelve a su longitud natural,$y=0$y$\cos \sqrt{k'}t = 0$asi que$\sin \sqrt{k'}t = 1$. Entonces la energía cinética del sistema es

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

En otras palabras, toda la energía potencial almacenada en el resorte se convirtió en energía cinética, como se esperaba.

Answer 2

Dejar$x$sea ​​la magnitud del desplazamiento máximo desde su posición de equilibrio de masa$m$y$X$sea ​​la magnitud del desplazamiento máximo desde su posición de equilibrio de masa$M$.

La conservación de la cantidad de movimiento del sistema requiere$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

Para este sistema, la frecuencia natural de oscilación viene dada por$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

La energía cinética máxima del sistema es$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

Poniendo el valor de$\omega^2$y multiplicando da la energía cinética como

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.

Es posible hacer un análisis más general para mostrar que la energía total del sistema es constante.