Entendiendo la reciprocidad de Frobenius

Aug 19 2020

Estoy atascado tratando de entender la prueba de la siguiente proposición:

Dejar $\pi$ ser una representación irreductible de $G=GL_2$. Entonces los siguientes son equivalentes:

  • $\pi$ es equivalente a un subespacio de $Ind_B^G \chi$ para un personaje $\chi$ de $T$ ;
  • $\pi$ contiene el carácter trivial de $N$.

Aquí usamos las notaciones habituales: $B$ el Borel estándar de matrices triangulares superiores, $N$ las matrices triangulares superiores unipotentes y $T$ el toro de matrices diagonales.

Se menciona que esto es una simple consecuencia de Frobenius Reciprocity, pero no entiendo dónde entra en juego.

Respuestas

Peng Aug 19 2020 at 17:44

Supongo que estás hablando de grupos finitos y sus complejas representaciones.

Por reciprocidad de Frobenius, lo sabemos $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . También sabemos que $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$esto prueba la afirmación.

DavidA.Craven Aug 19 2020 at 18:07

Lo que está describiendo es la inducción y restricción de Harish-Chandra. Si$\psi$ es un personaje de $T$, escribir $R_T^G(\psi)$ para $\psi$ inflado a $B$, y luego inducido a $G$. Por otro lado, si$\chi$ es un personaje de $G$, escribir ${}^*R_T^G(\chi)$ para el carácter obtenido primero al restringir a $B$, y luego tomando el subespacio de este espacio que está fijado por el subgrupo unipotente $U$. Esto naturalmente se convierte en un personaje para$T$.

La recpirocidad de Frobenius, aplicada a cualquier personaje de $G$ y cualquier personaje de $T$, rinde $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. Para ver este aviso, estamos ignorando en la restricción HC todos los caracteres que no están inflados por el toro. Así$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ dónde $\downarrow$ es la restricción estándar.

Por otro lado, la inducción de HC es simplemente la inducción estándar de un Borel, pero solo para ciertos caracteres. En este caso$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Así, la reciprocidad de Frobenius completa la demostración.

Si $\pi$ contiene el carácter trivial de $N$, luego $\pi$ tiene (la inflación de) un carácter de $T$ en su restricción a $B$. Por tanto, su restricción Harish-Chandra no es cero. Dejar$\chi$ser uno de los componentes de la misma. Entonces la inducción de HC de$\chi$ debe incluir $\pi$ por la declaración anterior.