Equivalencia entre dos definiciones de una categoría que tiene objetos exponenciales

Aug 15 2020

Se dice que una categoría con productos tiene exponenciales si para todos los objetos$x, y$ existe un objeto $y^x$ equipado con una flecha $e\colon x\times y^x\to y$ tal que para todos los objetos $z$ y todas las flechas $f\colon x\times z\to y$ hay una flecha única $\bar{f}\colon z\to y^x$ satisfactorio $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Veo que si una categoría tiene exponenciales, entonces $f\mapsto \bar{f}$ es un isomorfismo natural entre $hom(x\times z, y)$ y $hom(z, y^x)$ con inversa $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. De ahí el functor$x\times (-)$ se deja adjunto a $(-)^x$.

Me pregunto sobre lo contrario: si $C$ es una categoría con productos tales que $x\times (-)$ tiene un adjunto derecho, ¿se sigue que $C$ tiene exponenciales?

En particular, si asumimos que $x\times (-)$ tiene un derecho adjunto, ¿cómo equipamos $y^x$ con la flecha $e\colon x\times y^x\to y$. Además, ¿cómo deducimos que la ecuación$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ sostiene precisamente?

De alguna manera la existencia de un adjunto derecho de $x\times (-)$ se siente más débil y abstracto que la definición de propiedad universal de una categoría que tiene exponenciales dada anteriormente.

Respuestas

1 AnginaSeng Aug 15 2020 at 20:32

Supongo que se necesita aire acondicionado para elegir un objeto. $y^x$ para cada $x$ y $y$.

Aceptando esto, se obtiene la flecha $e$del formalismo de unidades / recuentos en adjunciones. Si$F$ es un adjunto derecho de $x\times(-)$ entonces, naturalmente, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Tomar $a=Fy$. Entonces$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ La identidad de la izquierda se asigna a un homomorfismo. $e:x\times Fy\to y$a la derecha. Nosotros denotaremos$Fy$ como $y^x$, y esto $e:x\times y^x\to y$ es el mapa exponencial.