Es $(4+\sqrt{5})$ un ideal primordial de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?
Considere el dominio integral $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Es$(4+\sqrt{5})$ un ideal primordial de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?
Conozco los siguientes hechos elementales. Tenemos \ begin {ecuación} \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right] = \ left \ {\ frac {m + n \ sqrt {5}} { 2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {son pares o impares} \ right \}. \ end {ecuación}
Para cada $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, defina su norma como de costumbre: \ begin {ecuación} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}. \ end {ecuación} Desde$m, n$son pares o impares, es fácil ver que la norma es un número entero. De este hecho se ve fácilmente que$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ es una unidad de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ si y solo si $m^2 - 5n^2=4$ o $m^2 - 5n^2=-4$. Ahora desde$N(4+\sqrt{5})=11$ lo conseguimos fácilmente $4+\sqrt{5}$ es un elemento irreductible de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Si$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ eran un dominio de factorización único, podríamos concluir que $(4+\sqrt{5})$ un ideal primordial de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Pero no se si$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$es un dominio de factorización único. ¿Alguien sabe si lo es?
Muchas gracias de antemano por su atención.
Respuestas
Llamada $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$. Podemos demostrar que$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, para que el ideal $(4 + \sqrt 5)$ es máxima.
Como $N(4 + \sqrt 5) = 11$, está claro que los elementos $0, 1, \ldots, 10$ son módulo incongruente por pares $4 + \sqrt 5$.
Cada elemento de $A$ es congruente con un módulo entero $4 + \sqrt 5$: de hecho, si es de la forma $a + b \sqrt 5$ con $a, b \in \mathbb Z$ podemos restar un múltiplo entero adecuado de $4 + \sqrt5$ aterrizar en $\mathbb Z$. Si es de la forma$(a+b\sqrt5)/2$ con $a, b$ extraño, podemos restar $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ aterrizar en $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$.
Considere el homomorfismo del anillo $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$ Según la primera observación, es inyectivo. Por el segundo, es sobreyectiva.
El campo numérico $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ tiene la clase número uno porque su límite de Minkowski satisface $B_K<2$. De ahí su anillo de enteros$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ es incluso un PID y, por tanto, un UFD.
Por otro lado, basta con ver que $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ es un campo, para que el ideal $(4+\sqrt{5})$ es primordial.
Si, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$es un UFD porque es norma-euclidiana .