Es $(4+\sqrt{5})$ un ideal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Question

Considere el dominio integral $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. Es$(4+\sqrt{5})$ un ideal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

No sé la respuesta, por lo que cualquier ayuda es bienvenida.

Tenga en cuenta que $4+\sqrt{5}$ es un elemento irreductible de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, ya que su norma $N(4+\sqrt{5})=11$ es un número primo (aquí como de costumbre $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ para cada $a, b \in \mathbb{Z}$). De todos modos$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ no es un dominio de factorización único, como se puede ver fácilmente en las siguientes factorizaciones $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. Así que la pregunta no es tan trivial, ¡al menos para mí!

Answer 1

Tenga en cuenta que $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$, y así tenemos la cadena de isomorfismos $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ También, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$, de donde $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$, y así el anillo de arriba $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ es de hecho isomorfo a $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ Ahora, $\mathbb{Z}\big/11$ es un campo, entonces $(\mathbb{Z}/11)[t]$ es un dominio ideal principal, y claramente $\bar{4}+t$ es irreductible - por lo tanto primo - en $(\mathbb{Z}/11)[t]$. Esto significa que el anillo anterior es un dominio, por lo que$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ es de hecho un ideal primordial de $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.