Es el $S^1$ cono $D^2$?

Question

Dejar $X$ sea ​​un espacio topológico, dejemos $Y=X \times [0,1]$ y $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. el cono en X es el espacio$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Ahora deja $X=S^1$, mi objetivo es demostrar que el cono en $X$ es homeomorfo a $D^2$, dónde $D^2$ es el disco cerrado unitario en $\Bbb R^2$. Básicamente, este cono se obtiene de un cilindro por contracción de la base inferior hasta un punto.

Usando las coordenadas polares podemos establecer un mapa $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ definido como $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Este mapa es continuo, inyectivo y sobreyectivo, pero ¿cómo demostrar que es un homeomorfismo?

Answer 1

Mostrar $f$ es un homeomorfismo sin usar la compacidad, puedes construir explícitamente el inverso de $f$, a saber $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ donde los paréntesis denotan la clase de equivalencia, y $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ donde cada uno de estos valores debe considerarse un número (mod $2\pi$), de ahí un elemento de $S^1$.

La continuidad de $g$ es bastante claro en todas partes excepto a lo largo del $y$-eje. Para aquellos, deberás demostrar que$g^{-1}(U)$ está abierto siempre que $U$ está abierto en el dominio, lo que significará escribir una forma de describir conjuntos abiertos en el cociente, lo cual es un dolor de cabeza, pero puedes hacerlo.