¿Es finito el grupo de Clifford?

Question

Para cualquier fijo $n$, ¿cómo probamos que el $n$-qubit Clifford group (subgrupo de $ U(2^n) $generado por las puertas Hadmard, las puertas de cambio de fase y las puertas CNOT) es finta o no? Sé que para el caso de un solo qubit, donde solo están involucradas la puerta H y la puerta S, es un grupo finito ya que estas dos puertas corresponden a$\pi$rotaciones en la esfera de Bloch a lo largo de ejes que manifiestan simetría. Supongo que queda por ser finito en el caso de varios qubit, pero no pude encontrar una manera de demostrarlo rigurosamente.

Además, si es finito, ¿cuál es la expresión del número de elementos del grupo en función de $n$?

Answer 1

A veces, hay un poco de confusión en torno al grupo de Clifford en el campo ... y es una cuestión de definición.

Mucha gente define al grupo Clifford $\mathrm{Cl}_n(p)$ de $n$ qudits de primera dimensión $p$como el normalizador unitario del grupo Pauli generalizado (por ejemplo, Gottesman, Nielsen & Chuang). Como tal, claramente no es un grupo finito ya que el centro es$U(1)$.

Sin embargo, esta también es una mala definición, tanto desde el punto de vista matemático como físico. ¿Por qué? Primero, porque el centro es matemáticamente aburrido y no agrega nada a la estructura del grupo y segundo, porque la fase global de un unitario no es física.

Hay tres formas de resolver esto:

1. Definirlo por sus generadores (ver el artículo de Gottesman sobre generadores de dimensiones superiores). Entonces, está claro que es finito ya que todos los generadores tienen entradas de matriz algebraica. Usando los generadores estándar, aún obtendrá un centro demasiado grande en el caso de qubit:$\mathbb{Z}_8$. El mínimo es$\mathbb{Z}_4$ en el caso de qubit un $\mathbb{Z}_p$en el caso qudit. Redefiniendo el$H$ puerta como $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ hace que el centro sea mínimo para qubits.
2. Puede definirlo como el normalizador en el grupo unitario con entradas en $\mathbb{Q}[i]$(números complejos racionales). Esto le dará un grupo con un centro mínimo (ver Ref. 1).
3. Definir el grupo proyectivo $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, o equivalentemente, la imagen bajo la representación adjunta, es decir, ~ los canales unitarios asociados a Cliffords. Sus elementos pueden verse como permutaciones de los operadores de Pauli (posiblemente con fases añadidas) que preservan las relaciones de conmutación. Puesto que hay$p^{2n}$ Operadores de Pauli, el número de permutaciones es finito (y por lo tanto es $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Además, tiene$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ dónde $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ es el grupo de Pauli (generalizado) hasta fases y $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ es el grupo simpléctico sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$. Su cardinalidad es$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Así, el grupo proyectivo de Clifford tiene cardinalidad $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Para los no proyectivos, hay que multiplicar con el orden del centro. Para obtener una referencia, consulte, por ejemplo, la Ref. 2

Referencias:

1. Gabriele Nebe, EM Rains y NJA Sloane. "Los invariantes de los grupos de Clifford"
2. D. Gross, "teorema de Hudson para sistemas cuánticos de dimensión finita"