¿Es posible diferenciar $\sin x$ con respecto a $\cos x$ desde los primeros principios?

Question

Hoy estaba haciendo un problema de práctica para una prueba de admisión a la Universidad, donde me pidió que diferenciara $\sin x$ con respecto a $\cos x$. La solución que encontré usó la regla de la cadena:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Sin embargo, cuanto más pensaba en este problema, más me hacía sentir un poco incómodo. Realmente no entiendo lo que significa diferenciar una función con respecto a otra función, si es que eso es posible. Entonces traté de diferenciar$\sin x$ con respecto a $\cos x$ desde los primeros principios, solo para saber con qué estaba trabajando:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

La idea detrás de esto era tratar $\cos x$como haría con cualquier otra variable. Sin embargo, esto me dio la respuesta incorrecta de$(\cos \circ \cos)(x)$, y no puedo entender por qué. ¿Existe una forma intuitiva de pensar sobre lo que significa diferenciar una función con respecto a otra función?

Answer 1

Quieres medir un cambio en $\sin{x}$ con respecto a un cambio en $\cos{x}$. Entonces quieres$\sin{x}$ como una función de $\cos{x}$, que no es lo mismo que $\sin(\cos{x})$. Ahí está tu problema fundamental.

Lo que quieres: si $x \in [0, \pi]$, luego $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, y entonces \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} como se desee.

Ejercicio: que pasa cuando $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Conjunto $y=\cos x$, entonces para $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ En cuanto al límite, debes escribir $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$