Es posible que$2^{2A}+2^{2B}$es un numero cuadrado?
Sean A y B dos enteros positivos mayores que$0$. Es posible que$2^{2A}+2^{2B}$es un numero cuadrado?
Tengo problemas con este ejercicio porque tengo la sensación de que la respuesta es no, pero no puedo dar más detalles sobre la prueba. Hasta ahora lo que pensaba era asumir que hay algún número entero$C>0$tal que$2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Después$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Estaba tratando de ver si la expresión anterior podía contener una contradicción, pero me quedé atascado. Todo lo que pude encontrar es que$C$tiene que ser un número par, pero eso no parece llevarme a ninguna parte. Agradecería cualquier ayuda.
¡Gracias por adelantado!
Respuestas
Sin pérdida de generalidad, sea$A>B$. Después$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$es un cuadrado implica$2^{2A-2B}+1$es un cuadrado como$2^{2B}$es un cuadrado Pero esto es imposible ya que$2^{2A-2B}$es un cuadrado
La respuesta de Shubhrajit Bhattacharya da una prueba simple y directa de que$2^{2A}+2^{2B}$no puede ser un cuadrado Pero solo por diversión, terminemos con el enfoque del OP (que inicialmente pensé que conducía a un callejón sin salida).
Si$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, después$(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, Lo que significa que$2^A+2^B+C$y$2^A+2^B-C$ambos son poderes de$2$, y obviamente diferentes poderes de$2$, decir$2^a$y$2^b$con$a\gt b$y$a+b=A+B+1$. Pero esto implica
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Si ahora suponemos, sin pérdida de generalidad, que$A\ge B$, tenemos
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Ahora$a\gt b$implica$2^{a-b}+1$es un número impar mayor que$1$, de lo que se deduce que debemos tener$A\gt B$(de lo contrario, el lado izquierdo es una potencia de$2$, no es un múltiplo de un número impar mayor que$1$). Esto a su vez implica$b=B+1$y$a-b=A-B$, de donde obtenemos
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
en contradicción con$a+b=A+B+1$.
Comentario: Me sorprendió un poco la naturaleza de la contradicción aquí, y tuve que revisar mi trabajo cuidadosamente para asegurarme de que no había cometido un error aritmético estúpido.
Solo hazlo.
Suponga sin pérdida de generalidad que$A \le B$asi que
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Entonces, si ese es un cuadrado perfecto, entonces debemos tener$(2^{B-A})^2 + 1$siendo un cuadrado perfecto.
Pero$(2^{B-A})^2$es un cuadrado perfecto por lo que tenemos dos cuadrados perfectos consecutivos. Debería ser fácil convencerse de que la única vez que ocurre es$0^2$y$1^2$. (Prueba como apéndice).
Entonces, la única forma en que esto puede suceder es si$(2^{B-A})^2 = 0$y$(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Pero$2^{B-A} = 0$no es posible.
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Anexo: Entonces sólo se tienen dos cuadrados consecutivos$0$y$1$.
Prueba: Supongamos$m^2 = n^2 + 1$. dónde$m,n$son enteros no negativos.$n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$asi que$n < m \le m+1$. Pero los únicos números enteros entre$n$(exclusivo) y$n+1$(inclusive) es$n+1$asi que$m = n+1$. Y entonces$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$asi que$2n = 0$y$n = 0$y$m =1$.
Asumir que$2^{2A}+2^{2B}$es un cuadrado perfecto. Sin pérdida de generalidad, suponga$A \geqslant B$. Entonces, deja$A-B=x$, dónde$x$es un entero no negativo. De ello se deduce que tenemos:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Ahora, si LHS es un cuadrado perfecto, entonces RHS también debe ser un cuadrado perfecto. Resulta que$2^{2x}+1$es un cuadrado perfecto. Deja que esto sea$n^2$. Entonces tenemos:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$Ahora, necesitamos$n-1$y$n+1$ser ambas potencias perfectas de$2$. Esto solo puede suceder para$n=3$. Sin embargo, incluso entonces, solo tendríamos$2^{2x}=8$que es imposible como$x$es un número entero. Por lo tanto, no existen soluciones.
tendríamos$k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, imposible como$k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.